ГЛАВА 6

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

В этой главе проблема устойчивости рассматривается применительно к тем случаям, когда приходится иметь дело с прикладными задачами, теоретическая основа для* решения которых либо разработана мало, либо совсем не разработана. Инженер решает такие задачи, используя хорошо зарекомендовавшие себя на практике, но не имеющие строгих математических обоснований методы.

В гл. 5 было показано, как можно анализировать поведение автономных систем управления вблизи изолированных точек равновесия. Если же рассматриваемая с истема управления нестационарна, то задача существенно усложняется. Еще большие теоретические трудности вызывает анализ устойчивости систем управления в большом. Для реальных систем с насыщением выяснение этого типа устойчивости равносильно определению условий, при которых в системе возникают автоколебания. Это означает, что необходимо проверить, существует ли устойчивый предельный цикл при значительных уровнях сигналов. Если да, то система неустойчива в большом. Таким образом, инженер заменяет трудную задачу определения устойчивости в большом выяснением вопроса, возникает ли в системе предельный цикл. К сожалению, точные методы для выявления предельных циклов используются редко, но даже там, где они применяются, эти методы трудоемки; поэтому важное значение приобретают приближенные методы. Эти методы - результат огромного инженерного опыта.

Общая черта всех приближенных методов заключается в том, что, как правило, неизвестны условия, при которых применение метода оправдано. Иногда удается найти контрпример, показывающий, что приближенный метод применять нельзя. Безус/ювный критерий возможности применения приближенного метода заключается в том, что условия, при которых метод несправедлив, невозможны или практически маловероятны.

В этой главе рассматривается метод гармонической линеаризации - наиболее мощный из приближенных методов, применяемых в практике проектирования систем автоматического управления. Этот метод весьма удобен при определении условий возникновения автоколебаний. Его можно применить и для анализа вынуйсденных колебаний, в частности, для нахождения условий существования скачкообразного резонанса *.

* В последнее время метод гармонической линеаризации стал применяться для определения показателей динамической точности и качества процессов управления в нелинейных системах [272], [281], [295], а также исследования скользящих режимов, вибрационной линеаризации, захватывания и т. п. [227], [254], [256], [261 ]. Суш;ествеиным образом расширен и класс систем управления, проектирование которых стало возможным благодаря применению метода гармонической линеаризации. Это дискретные, самонастраивающиеся и с перестраиваемой структурой системы управления (Прим. ре5.).

При изучении метода воспользуемся подходом, который неоднократно будет применяться в последующем изложении и который заключается в том, что мы предполагаем известным вид сигнала в некоторой точке замкнутой системы. Сделав такое предположение, можно определить вид сигнала в каж- дой точке контура и найти условия, при которых указанное предположение является верным.

В некоторых случаях удается определить точные условия, налагаемые на параметры системы, при которых предполагаемое решение имеет место. Однако чаще оказывается, что точное решение отыскать трудно, и поэтому отыскивается приближенное решение. При этом делается характерное допущение, присущее как методу гармонической линеаризации, так и его обобщению - методу эквивалентной линеаризации, которое заключается в замене нелинейного элемента элементом с линейными свойствами *.

Очень важно понять суш,ность метода гармонической линеаризации, поскольку он обладает большими возможностями, которые окончательно еще не исследованы. В своем изложении мы отступаем от обычного подхода, желая дать новую трактовку методу гармонической линеаризации.

В §§ 6.6 и 6.7 вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде в нелинейной системе, которое весьма полезно при анализе систем высокого порядка. При этом оказывается возможным осуществить в системе нелинейную коррекцию. Для определения в нелинейной системе запаса устойчивости по амплитуде достаточно подвергнуть ее автоколебательной проверке . Эта методика, с успехом использованная авторами на практике, позволила еще глубже уяснить существо метода гармонической линеаризации. В заключение рассматриваются случаи, когда метод гармонической линеаризации несправедлив. Это чаще всего происходит в том случае, когда нарушаются самые общие условия применимости указанного метода.

6.1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Для того чтобы читатель смог уяснить сущность метода гармонической линеаризации, свое изложение мы начнем с примера.

Пример 6.1. Рассмотрим систему, удовлетворяющую уравнению Ван-дер-Поля

х-\-ii{x?- 1) х-\-х= О, (6.1)

и определим условия возникновения предельного цикла. Если цикл существует, то найдем частоту и амплитуду колебаний. Уравнение системы через переменные состояния, при условии Xl = X, Х2= X, можно записать в виде

x2=-\y{x\-\)x2-xi. . (6-2)

Проанализируем уравнения (6.1) и (6.2). В уравнении (6.1) выделим член (х (х - 1) который определяет демпфирование. Для л>> О, в области х < 1; х =/= О, демпфирование отрицательно. Это означает, что система неустойчива. Так как ясно, что начало координат X = 0; X = О - единственная точка равновесия, то мы вправе ожидать, что состояние равновесия неустойчиво в малом. Кроме этого, для х > 1; х О демпфирование значительно по величине и положительно, и, следовательно, при (х>- О система устойчива.

Таким образом, если движение происходит достаточно далеко от начала координат, то система ведет себя так, как если бы начало координат было устойчивым. Это как раз тот случай, который полностью определяет возможность существования предельного цикла для (х > 0. Аналогично можно показать, что для (х< О начало координат будет устойчиво в малом и

* Как показано в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (см. сноску на стр.. 23), такая замена нелинейного элемеггга позволяет сохранить у линеаризованного элемента основные свойства нелинейности, а именно: переменность наклона его линейной характеристики от амплитуды входного сигнала {Прим. ред.).

неустойчиво в большом, а следовательно, в системе управления существует неустойчивый предельный цикл.

Можно дать и грубую количественную оценку параметров предельного цикла. Из уравнения (6.2) видно, что предельный цикл существует в окрестности точек, удовлетворяющих условию 1 = I. Действительно, если мы представляем предельный цикл как некоторую границу между областями устойчивого и неустойчивого движения, то естественно ожидать, что колебания происходят вблизи точек Xi1 = 1.

После такого беглого анализа- можно приступить к детальному рассмотрению примера. Из уравнения (6.2) видно, что единственной особой точкой этого уравнения является начало координат системы Хе= 0.

Нелинейный блок

=0

Рис. 6.1. Структурная схема системы, составленная по уравнению Ваи-дер-Поля (6.2)

Полагая - хе = и - хд = дх, получим уравнения, линеаризованные относительно положения равирвесия:

Гл;. 1 Г п П ГЙ!-. 1

(6.3)

(6.4) (6.5)

Отсюда находим, что характеристическое уравнение имеет вид

- + 1 = 0,

а корни этого уравнения будут

Таким образом, система неустойчива в малом, если (л>0. В частности, для < 1

начало координат - неустойчивый фокус, а для -i начало координат - неустойчивый узел.

Теперь определим, где проходят траектории. В общем случае существуют три возможности движения из неустойчивого положения равновесия. Во-первых, траектория может идти в другое равновесное состояние; во-вторых, может уходить в бесконечность; и, в-третьих, может стремиться к предельному циклу. Так как изучаемая система имеет лишь одно положение равновесия, то первый случай невозможен. Что же касается второго и третьего, то из приведенного нами беглого анализа наиболее вероятным следует считать движение к предельному циклу. Рассмотрим структурную схему, показанную на рис. 6.1, где нелинейный блок включает в себя все нелинейности системы. Оставшаяся линейная часть системы неустойчива, хотя согласно частотным характеристикам она пропускает лишь низкие частоты.

Предположим, что по координате х имеют место синусоидальные колебания. В результате нелинейного преобразования в сигнале появятся дополнительные гармоники. Однако, если эти гармоники в достаточной степени ослабляются линейной частью системы, то иа выходе остается лишь первая гармоника сигнала. Если результирующая амплитуда первой гармоники сигнала в обратной цепи соответствует первоначальной амплитуде сигнала х, то в системе могут возникнуть автоколебания.

Рассмотрим подробнее нелинейный элемент на рис. 6.1, входной сигнал которого-х. а выходной и. Предположим, что х имеет вид

Xi = Xi sin at= Xi (0;

(6.6)

* Мы используем символ х для обозначения амплитуды синусоидального сигнала х (t), а индекс п - для обозначения периодического сигнала там, где это необходимо.