Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Входной сигнал г (t) и реакция на начальные условия линейной части исходной системы согласно выражению (10.29) должны быть заменены на Га (О и ео (t), определяемые через преобразование Лапласа следующим образом:

[Гаit) + (01 = T+W + -

Вывод соотношений (10.30) и (10.31) мы предлагаем читателю сделать самостоятельно (см. упражнение 10.2). Из выражений (10.30) и (10.31) видно, что преобразование (10.29) приводит к изменению корней х ар актер истиче-

t/ = f {e)=Uae

u(t)

u(t)F[e(t),t]

*(

t) e(t)

Un(t)

Ga(p)=

G(p)

UGlp)

Рис, 10.9. Преобразование, связанное со сдвигом полюсов:

а - влияние преобразования на изменение характеристики нелинейного ,

элемента; б - исходная система, где о it) - реакция линейного элемента иа начальное условие, а г (f)-входной сигнал; в-преобразованная система в результате замены (t) = и (t) - ае (t)

ского уравнения системы; поэтому указанное преобразование и называется сдвигом полюсов. Данный прием удобно использовать для анализа систем, линейная часть которых либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости. Он же позволяет дать доказательство основной теоремы 10.1 для случая -оо <; 90 (см. приложение III).

Пример 10.6. Рассмотрим линейный элемент, передаточная функция которого и реакция на начальные условия задаются в виде

G(s) =

(s- 1) (s+ 3) (s+ 4)

(10.32)

где (Xie, Xjo, x) - совокупность начальных условий для некоторого набора переменных состояния. Очевидно, что такой элемент неустойчив. Однако линейную часть можно сделать устойчивой, если охватить ее отрицательной обратной связью с коэффициентом а. Для преобразованной линейной части в соответствии с выражениями (10.30) и (10.31) получим

[ga(0]= G (S)=

(s+3) (s-

s (s? + 6s + s) -f a -- 12

4) Xio+ (s-1) (s+ 4)X20+ (s-1) (s-f 3) Х30 s (s2 + 6s + 5) + a - 12

(10.33)



Методом корневого годографа или с помощью любого другого метода можно показать, что преобразованный линейный элемент устойчив, если

12<а<42.

(10.34)

Для этих значений я из выражений (10.33) следует, что как (t), так и ео (О ограничены убывающей экспонентой, т. е. существуют постоянные Ki, К21 О такие, что

1 & (О К Ki ехр (-EiO и I е о (О 1 < Кг ехр (si).

Таким образом, преобразованный линейный элемент удовлетворяет условию (10.9) при ct = О и по определению 10.3 является устойчивым (покажите это). Величину а можно выбр ть равной й = 12 -f- е, где О < е < 15, и воспользоваться теоремой 10.1 для передаточной функции

Теперь можно определить допустимый сектор Попова для нелинейного элемента. Пусть этот сектор для преобразованной системы определяется как (uJe) [О, KaV, в этом случае из выражения (10.29) следует, что сектор Попова исходной системы будет (и/е) £ [а. Ко -г й]. В частности, для данного примера можно показать, что если характеристика нелинейного элемента стационарна и однозначна либо относится к виду характеристик с активным гистерезисом, то найдется такое 9>0, которое удовлетворяет условию (10.19), если (uJe) [О, 30 -2е] и 0<Е:15 (см. упражнение 10.4). Поскольку а= 12-- е, то из выражения (10.29) следует, что сектор Попова исходной системы, для которого гарантируется существование асимптотически устойчивого выходного сигнала, определяется условием (и/е) [12-i-e, 42 - е], где О < е 15. Сравнив это условие с ограничением (10.34), видим, что в данном случае сектор Попова совпадает с углом Гурвица. Это означает: гипотеза Айзермана выполняется.

2. Обобщенный круговой критерий *

До сих пор мы шли по пути преобразования передаточной функции исходной системы к такому виду, чтобы выполнялись условия теоремы 10.1. Теперь мы попытаемся видоизменить условие Попова (10.19) так, чтобы оказалось возможным анализировать систему с первоначальной линейной частью. Этот путь приводит нас к чрезвычайно полезному круговому критерию, который мы и сформулируем в качестве теоремы.

Теорема 10.4 Рассмотрим основную систему с обратной связью (10.1). Допустим, линейный элемент, охваченный отрицательной обратной связью с коэффициентом а, устойчив. Для того чтобы для исходной системы с обратной связью существовали абсолютно асимптотически устойчивое управление и выходной сигнал при (и/ё) 6 [а, Ь], если а <С. Ь, достаточно существование такого действительного числа д, что для всех ю О выполнялись условия

G0 ) +

6 + а - /СО)? (6 - а)

G(/o)) +

b+a-

- jag (b - a)

>

b - a

<

(10.36)

* Круговой критерий был первоначально доказан лишь для случая д= О ([24], [207], [208]). Обобщенный круговой критерий, сформулированный в теореме 10 4, является дальнейшим развитием и справедлив для д фО.

** а и b могут принимать отрицательные значения, и, следовательно, могут выполняться

оба условия: - !> -г- и - < -т- .



где б - произвольно малая величина. Ограничения, которым должны удовлетворять величины д и b - а, зависят от вида нелинейности и остаются теми же, что и в теореме 10.1 для величин q иК соответственно.

Геометрическая интерпретация условия (10.36) состоит в том, что для всех О) О частотный годограф G (/со) должен располагаться вне или внутри круга с центром в точке

в зависимости от, выполнения условия

>

или -<

И пересекать

действительную ось в точках --и --Рис. 10.10 построен для

распространенного условия Пример, соответствующий

приводится в § 10.8.

ImCfju)


Пряная Попова

ReGljcj)

arctgcjq

Рис. 10.10. Графическая иллюстрация теоремы 10.4 для случая 1/й > 1/Ь, а также теоремы 10.5

наиболее

а b

условию > -

Подведем некоторые итоги:

1. Теорема 10.4 обобщает основную теорему 10.1. Можно показать, что если а О и b К, то условие (10.36) переходит -в условие (10.20) (покажите это) *, которое, в свою очередь, соответствует условию (10.19) в теореме 10.1.

2. Для существования абсолютно асимптотически устойчивых управления и выходного сигнала с коэффициентом затухания а требуется, чтобы, во-первых, линейная часть, охваченная отрицательной обратной связью с коэффициентом а О, обладала степенью устойчивости а и, во-вторых, вместо частотной характеристики G (/со) в условие (10.36) следует подставлять G (/со-а). Это является непосредственным следствием теоремы 10.3.

3. Рис. 10.10 иллюстрирует также связь, которая существует между ограничениями на линейную и нелинейную части системы. Сужая сектор {ule)£ [а, Ь], мы уменьшаем и радиус критических окружностей. Поэтому область допустимых расположений годографа G (/со) расширяется.

4. Если а /I и 6 /I, то мы получим линейную стационарную систему с усилением h. В данном случае критическая окружность вырождается в точку

с координатой --на плоскости G (/со). Это и есть критическая точка при

формулировке частотного критерия устойчивости линейной системы.

5. Критическая окружность, определяемая соотношением (10.36) и показанная на рис. 10.10, является функцией частоты или, точнее, произведения д(д. Несмотря на то, что все окружности проходят через точки -

и-- их центры смещаются вверх с увеличением произведения щ. Лишь

* Графическое подтверждение указанного положения можно получить и при анализе рис. 10.10, если а = О и Ь = К.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.