Однако функция х (t) удовлетворяет также уравнению ф (х, х, t) = 0. Это означает, что т] (t) не может быть выбрана произвольно. В действительности она должна быть выбрана такой, чтобы

Ф {х + ег\, X + eri, t) = 0.

(13.39)

Из уравнения (13.39) следует ~

= О ИЛИ, полагая, как й прежде.

X -\- щ = X и X -{- &t\ = X, получим дХ де дх

(13.40)

Теперь выражения (13.38) и (13.40) можно объединить, вводя множитель я]; (t), и образовать единственное необходимое условие вида ti

dL {X. х. t) i аф (X, X, t) \

я}, (О

ц (О

dL {X. X. t) dk

{X. X. t) \

(13.41)

Если ф (t) выбрать так, что выражение с сомножителем т] (t) равно нулю, то первое слагаемое в интеграле также должно равняться нулю, поскольку функция т] (t) произвольна.

Сравнивая с выражением (13.9), видим, что соотношение (13.41) соот-

ветствует задаче минимизации функционала = ( + фф) dt без

ограничений с граничными условиями х (tj) =Хг, х (t) = х- Следовательно, множители Лагранжа ijj ( == 1, . . ., т) должны быть в общем виде функциями времени на интервале t £ 1t.

13.2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методы, изложенные в предыдущем параграфе, можно непосредственно использовать для решения линейных оптимальных задач. Этот класс систем характеризуется следующими свойствами:

1) объект управления линеен и описывается уравнением вида х = = Ait)x + B (t) и;

2) целью управления является нахождение управляющей функции и (f), которая переводит систему из начальной точки Xi для момента времени ti в точку Х2 для момента t таким образом, что функционал

/ = j L (jc, и, t) dt (13.42)

Принимает минимальное значение;

3) функция критерия L (х, и, t) является квадратичной формой переменных состояния и управления; коэффициенты квадратичной формы могут изменяться во времени.

В нестационарном случае, когда матрицы А к В зависят от времени, применение вариационного исчисления приводит к двухточечной краевой задаче, которая может быть решена методами § 12.3, хотя в общем случае

аналитическое решение невозможно., Если коэффициенты постоянны, то можно найти аналитическое решение задачи, а в некоторых случаях даже решить задачу синтеза.

Для того чтобы свести к минимуму излишние выкладки, рассмотрим систему с одним управлением вида х = А (t) х + В (t) и и функцией критерия

L=JCk{t) xl + d (t) I

В задачах вариационного исчисления систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как совокупность ограничений типа *

щ{X, x,u)=xk-Yi к/ (О X/ -bk{t)u]=0;k=\,...,n. (13.43)

Согласно предыдущему параграфу, если ввести п множителей Лагранжа . . ., J5 , то задача минимизации, изложенная выше, приводится к задаче минимизации эквивалентного функционала без ограничений, где

*2 П \ tz

/1 = j L+Yi /Ф dt = \Ly dt, ti\ k=i J t,

(13.44a)

(13.446)

Если удается в результате решения выразить управление и через переменные ATj, то говорят, что прн этом решена задача синтеза.

Сравнивая нашу задачу с задачей § 13.1, заметим, что кроме переменных Xl и Xl, появляется переменная и. Аналогично задачам предыдущего параграфа определим дополнительную переменную a: +i следующим обра-

зом: Хп..1 (t) = и (т) dx; Хпу (tj) = 0; x+i (t - произвольная. tl

В этом случае имеем

Xnl (t) = и (t), и уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид

(13.45)

-4г(] = 0, k=l,...,n+l.

dxk . dt \q Для нашей задачи найдем соотношения

1=1=- S=1-

(13.46)

* Здесь рассматривается п ограничений, потому что имеется дополнительная переменная и (t). . , .

и, подставляя их в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим

% = - S (О % -\-2ck(t)xk, kl,...,n (13.47а)

2d{f)u- £ fcy (/)% = const.

Значение постоянной в последнем уравнении можно найти, рассматривая условие трансверсальности для a: i при / = t,. Используя выражение (13.34), получим

дхп+г

= 0.

Таким образом, постоянная равна О и рассматриваемое соотношение принимает вид

I2d (t) ы - S bj (t) = 0, (13.476)

К выражению (13.47а) и (13.476) добавим уравнение системы

= S (i) Xj + bk{t)u, k=l, . . .;n. /=1

(13.47b)

Уравнения (13.47 a, 6, в) образуют систему 2n нестационарных линейных дифференциальных уравнений относительно переменных л: и if. Граничные условия X (ti) = Xi, X (t = лга дают нам требуемые 2п условий. Теперь, чтобы решить эти уравнения, можно использовать метод, изложенный в § 13.2 (см. также пример 13.8).

Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами и стационарньш квадратичным показателем качества решение двухточечной граничной задачи не сложнее, чем решение одноточечной задачи. Это связано с тем, что вид решения известен и остается только определить постоянные, используя граничные условия. Подставляя уравнение (13.476) в (]3.47в), запишем следующую систему;

п п п

/=1 ,=1 1=1

Характеристическое уравнение линейной системы (13.48) имеет вид

bibn

к aid-

ant 2сг

bd -Ми - к

In

2Сп - Gi

(13.49а)