Пусть, как и прежде в пард1графе 5.5, (Ui (f), t; Хо, t) есть опорная траектория. Это означает, что траектория в пространстве состояний определяется управляющим сигналом (t), действующим на систему (5.39), начиная с момента времени t, когда х (tg) = Хд. Зафиксировав (t) *, можно изучать влияние возмущения бл: (о) = блго на начальное состояние системы. Пустьл:(й1 (t), t,Xf) + бл:о, о)-возмущенная траектория системы; тогда понятия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову можно сформулировать следующим образом.

Определение 5.4. Траектория системы х ( ! (t), t\ х, t) устойчива (в смысле Ляпунова), если для любого е >> О существует 6 >> О, зависящее от 6 и, возможно, от to такое, что для всякой возмущенной траектории л: ( 1 (t), t; Хо + 8хо, to) из условия бл:о < 6 следует х (t) - л: (t) \\ < < 8 для всех t > to-

Определение 5.5. Траектория л:1 (Ui (f), t; х, to) асимптотически устойчива, если:

а) это траектория устойчива;

б) существует б, возможно зависящее от о. и такое, что из условия II 6л:о < 6q следует бл: (t) \\ = л:1 (t) - л: (t) \\ -> О, когда - оо.

Определение 5.6. Траектория х {и (t), t; Хо, to) неустойчива, если существует такое е, что нужного б, которое удовлетворяет определению-5.4, подобрать нельзя.

Эти определения получены непосредственно из данных ранее определений об устойчивости относительно точки равновесия. Отметим, что простота новых определений обманчива. Укажем, по крайней мере, два примера, в которых нежелательно использовать данные определения.

Пример 5.14. Из определения 5.5 следует, что всякий предельный цикл может быть, самое большее, лишь устойчивьш, но никак не асимптотически устойчивым, хотя практически из условия устойчивости следует, что происходит возвращение на тог же предельный цикл. Рассмотрим возмущение относительно траектории предельного цикла. Это возмущение приводит к тому, что возмущенная траектория через некоторое время вновь входит в тот же предельный цикл. Очевидноиз определения предельного цикла, что не может стремиться к нулю, и по определению 5.5 предельный цикл асимптотически неустойчив.

Пример 5.15. Многие консервативные системы, период колебаний которых определяется расстоянием изображающей точки от положения равновесия, будут по определению-иметь неустойчивые траектории, хотя с практической точки зрения движение по такой траектории устойчиво .

Рассмотрим двииение искусственного спутника Земли по круговой орбите радиуса R под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра окружности Допустим, что возмущение по положению и скорости спутника привело к тому, что он стал двигаться по новой орбите радиуса R + 6R. Нетрудно себе представить, что малые возмущения приведут к малым изменениям траектории. Тогда можно установить, что круговая орбита устойчива в смысле Ляпунова. Однако проанализируем изменение угловой скорости. Круговую орбиту можно рассматривать как орбиту, угловое движение по которой с постоянной ско ростью обусловлено силой притяжения, т. е.

где т - масса спутника;

k - гравитационная постоянная;

со - угловая скорость движения спутника по орбите.

з

Из приведенного выражения следует, что величина со пропорциональна R , поэтому разным орбитам соответствуют разные периоды обращения. С ростом времени расстояние между двумя спутниками, движение одного из которых является возмущенным, может достичь 2R, и это не зависит от расстояния между орбитами diR, которое может быть сколь угодно малым. Таким образом, орбита спутника неустойчива в смысле Ляпунова, Аналогично можно

* Это необходимо, поскольку определение устойчивости, данное Ляпуновым, относится к системам без входного воздействия.

показать, что угловое движение математического маятника относительно произвольной траектории (за исключением тривиального случая движения относительно положения равновесия) иеустойчиво в смысле Ляпунова.

Два последних примера свидетельствуют о том, что требования Ляпунова к устойчивости и асимптотической устойчивости оказываются весьма жесткими, если речь идет об устойчивости относительно траекторий. Эти условия удастся ослабить после введения в следующем параграфе понятия орбитальной устойчивости. В то же время можно показать, что для некоторых нестационарных, нелинейных и нелинейных нестационарных систем требования Ляпунова к устойчивости и асимптотической устойчивости недостаточно справедливы.

П р и м е р 5.16. Рассмотрим линейную систему с переменными параметрами х -\-- х =

= О, которая описывается уравнением Эйлера первого порядка (пример 3.12). Интегрируя, получим решение в виде

x(0 = -x(io).

Заметим, что при f> {f) всегда меньше, чем х (if,), и более того, х {i) О, когда t -> оо; таким образом, начало координат асимптотически устойчиво. Однако, если оценить скорость сходимости системы к положению равновесия, то мы заметим, что чем больше значения to, тем меньше скорость сходимости (например, при 1 требуется 9 сек, чтобы функция X (f) уменьшилась до величины 0,1л: (о). Однако, если to = 1000 сек, то требуется 9000 сек, чтобы достичь того же конечного значения). Из этого примера видно, что с точки зрения практики асимптотическая устойчивость здесь означает просто устойчивость.

Обобщая, можно сказать, что поведение любой системы, описываемой дифференциальным уравнением Эйлера, будет именно таким, если начало координат системы асимптотически устойчиво. Помимо того, что в нестационарных системах скорость сходимости зависит от to, может оказаться, что реакция системы на некоторое возмущение бл: будет неограниченно расти с изменением to, и поэтому невозможно подобрать число б, единое для всех to-Следовательно, величина б в определении устойчивости по Ляпунову должна быть функцией о-

Пример 5.17 (Массера). Рассмотрим линейную нестационарную систему х = = (6isin t - 2t) х; интегрируя ее, получим общее решение для всех io>- О в виде

X {t)=x (t) exp (6 sin t - 6tcost - - 6 sin t + бо cos t + fp).

X (t)

Если обозначить Т = t - to, то можно показать, что отношение -ограничено вели-

X (to)

чиной ехр [12--Т(6 - Т)] для всех Т>6 и, следовательно, стремится к нулю, когда Т -> оо. Теперь возьмем Т = п, а = 2nn; тогда, обозначив л:о = л: {2пп), получим

X ((2/1 + 1) п) , , ,1

---- = ехр [(4/1 + 1) (6 - п) п].

Когда п оо, отношение--> оо, а это значит, что чем позже во времени подейство-

вало возмущение, тем большая реакция соответствует ему в момент времени через п сек после момента действия возмущения.

Из примеров 5.16 и 5.17 следует, что при рассмотрении нестационарных систем необходимо дать другие определения устойчивости, при которых скорость сходимости к равновесному состоянию или другие свойства не зависели бы от момента действия возмущения to- Указанный смысл вложен в понятие равномерной устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости.

Когда возмущенная траектория обладает следующим свойством: 1 бл: (t) II - О равномерно относительно бл:о, то это значит, что существует

некоторая конечная граница (зависящая от ЦблгоЦ) времени, после истечения которого норма бл: становится меньше или равна некоторой величине, единой для всевозможных блгд. Таким образом, время перехода системы в некоторую фиксированную область не зависит от конкретного смысла вектора блго и даже не зависит от его направления, а определяется лишь величиной (или нормой) 8хо- В этом смысле линейная система асимптотически устойчива, если для любого числа .i всегда существует другое число Т, зависящее от .1, блго и to, такое, что все траектории бл: (t), начиная с момента времени to + Т, будут находиться на расстоянии .i и ближе от начала координат, при условии, когда бл;о принадлежит сфере радиуса б (о) с центром в начале координат. В этом случае время перехода Т фактически не зависит от точного значения бл;о, а зависит лишь от максимума величины бл:о, обозначаемой бо, таким образом, можно записать, что Т (ix, бд (tg), to). Для линейных систем при одном и том же значении .i, если Ьа > б, получим Т {yi, бс, о) > Т (ix, Ъа, to). Это означает, что траектория линейной асимптотически устойчивой системы стремится к началу координат равномерно относительно бл;о (см. гл. 11). Нелинейная система может оказаться асимптотически устойчивой, однако траектории не будут стремиться при этом к началу координат равномерно относительно бл;о. Могут существовать, например, отдельные направления (или гиперплоскости), такие, что Т {ц, 8хо, to) -оо, когда выбранное бл;о располагается на упомянутых линиях или гиперплоскостях (следовательно, скорость движения есть функция направления от первоначальной точки бл;о и, в частности, существуют направления, вдоль которых скорость движения равна0)*. В этих случаях не существует верхней границы -Т, какова бы ни была величина окрестности б .

Условие II бл; (011 О равномерно относительно л;о, означает, что сходимость определяется только нормой начального состояния л;о. Таким образом, время перехода Т, как оно определено выше, зависит только от б, которая ограничивает л;о.

Выражение бл: (t) О равномерно относительно to означает, что сходимость не зависит от момента to. Следовательно, и Т не зависит от to- Тогда системы, у которых скорость движения стремится к О при tg-oo (как это было в примере 5.16), не будут стремиться к положению равновесия равномерно по 0-

После такого предварительного обсуждения можно ввести следующие понятия.

Определение 5.7. Траектория л;1 (и (f), t; Хо, to) равномерно устойчива, если она устойчива в смысле определения 5.4 и б не зависит от tg.

Определение 5.8. Траектория л;1 ( i (t), t; Хо, to) равномерно эквиасимптотически устойчива, если:

а) она устойчива;

б) всякое возмущенное движение при бл;о < б таково, что бл; О равномерно относительно переменных бл;о.

Определение 5.9. Траектория Xi{Ui{t), t; Хо, to) равномерно асимптотически устойчива, если:

а) она равномерно устойчива;

б) всякое возмущенное движение при бл;о < б таково, что бл;-0 равномерно относительно переменных бл;о и tg.

Можно отметить, что асимптотически устойчивая линейная стационарная система стремится к положению равновесия таким образом, когда ее координаты экспоненциально убывают со временем (см. гл. И) и, следова-

* См., например, работу [13].