Тогда

(2.4)

Используя выражения (2.3) и (2.4), уравнение (2.1) запишем в следующей компактной форме *:

x = f{x,u,t); y = g{x,u,t). (2.5)

Уравнение (2.5) можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 2.3. На этой схеме векторные величины изображены стрелками в виде

двойных линий. Блок между х к х представляет операцию л: = (-~ fx

единичная

Вектор управляющих сигналов

Вектор состояния X

(или X = рх), где /

матрица, г. ---оператор интегри-

у рования. Блок между и, xv. у пред--g(x.u,t)-if ставляет операцию у = g {х:, п, t). -г-у. В случае линейного объекта

к/ функции Вектор Выходных аигиалоВ

fi ii! -I 1, . . -, и/, i) ,

gj.{X-, . Хп, Ml, . . ., л, /)

Рис. 2.3. Блок-схема системы, описываемой уравнениями (2.1а) и (2.16) при записи их

в матричной форме суть линейные комбинации перемен-

ных состояния. Другими словами, существуют такие функции времени (t) и bjk (t) (i, j = I, . . .,п; k = = !,...,/), что выполняется условие

fl {Xi, . - ., x ; Ml, . . ., а/, О = , .

= S aa it) xj (t) + t (t) Uk {{), (2.6)

/=1 k=i

И, кроме того, существуют параметры

сц (t), dik (О (i = 1, . m; / = 1, . . ., r; = 1, . . ., г), для которых справедливо соотношение

- gj (Xi, . . ., Хп, Ml, . . ., и/, t) = .

= S Си (t) xj (О + t (0 (t). - (2.7)

j=i k= 1

Тогда уравнение (2.5) принимает вид .

x = A{t)x + B{t)u; yC(t)x-{-D{t)u, (2.8)

Здесь X обозначает что соответствует группе уравнений

11 (О -- - i (0

a i{t) ... anif) Cuit) ... cit)

c,ni{t)

~Wt) ...Writ)

KAt) Krit)

йггЩ ...d,r{t) dmiit) ...drit)

(2.9)

Здесь A (t), В (t) и D (t) - переменные во кремени матрицы соответственно типа пХп, пХг, mXn, и тХг.

Интерес представляет частньИй случай, когда объект имеет один входной и и один выходной у сигналы. При этом они являются одномерными векторами или скалярами. Тогда уравнения (2.8) могут быть записаны в виде

x = A{t)X{-bit)u; y = c{t)X\-d{t)u,

(2.10)

(2.11)

a [t) - транспонированный * no отношению к вектору с (t) вектор.

Соотношения (2.5), (2.8) и (2.10) будем рассматривать как уравнения состояния системы. Следует заметить, что уравнения состояния системы не единственны, т. е. существует не одна группа переменных состояния, при помощи которых поведение системы может быть описано полностью **. Однако любые две системы переменных состояния связаны между собой однозначно. Уравнение состояния, получающееся при одном выборе переменных состояния, по своей форме может оказаться проще, чем при другом выборе переменных состояния. Здесь часто большую роль играет интуиция проектировщика.

Проиллюстрируем на конкретном примере практические приемы сведения уравнений к виду (2.1).

Пример 2.2. Угловые колебания искусственного спутника Земли со струйными исполнительными органами описываются следующими динамическими уравнениями Эйлера:

03,----J- (OgtOg -1--J-, (02 = ---- (i>s(£>i +

3 =

(J2-J1)

* Cm. приложение I.

** Здесь, конечно, не имеются в виду тривиальные случаи расположения тех же уравнений, но в другом порядке.

Здесь Ji; (i>i; Ui (i- 1, 2, 3) - соответственно моменты инерции, составляющие угловой .скорости и приложенного момента по главным осям искусственного спутника Земли.

Если в качестве переменных состояния выбрать составляющие угловой скорости по главным осям (о; coj-, соз, то динамические уравнения Эйлера принимают уже рассмотренный вид (2.1а), где Xi= (i (i = I, 2, 3), a, например, определяется выражением

3 - Л \ I 1 (t)

и т. д.

Составляющие угловой скорости могут быть измерены при помощи соответственно расположенных скоростных гироскопов, тогда их можно принять в качестве выходных сигналов. Если гироскопы идеальны и правильно ориентированы, то выходные сигналы будут совпадать с переменными: состояния, т. е. t/i = xi = т. Если же гироскопы идеальны, но установлены

с перекосом, то каждый гироскоп реагирует и на угловые Si-i скорости вокруг двух других осей, так что выходные сиг-

налы будут линейной комбинацией переменных состояния. ц. I Другими словами, сигнал yi имеет вид

yt = atXi + bjXa + cix.

Рис. 2.4

Нелинейная ристика

характе-

TReai, bi, Ci - постоянные (t = 1, 2, 3), а функции g-принимают вид уравнений (2.7).

Если же гироскопы установлены правильно, но каждый из них имеет нелинейность типа ограничение , что является типичным для реальных приборов, то функции gj будут нелинейны, причем нелинейная характе- ристика имеет вид, показанный на рис. 2.4.

2.3. ОПЕРАТОРНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Линейная система п-го порядка с одним входным и одним выходным сигналами описывается обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка вида

L (р, i)y = M {р, t)u; . (2.12)

где у - выходной сигнал системы;

и - входной сигнал системы; . . .

р -оператор (.Р=)-

Операторы L (р, /) и М (р, t) представляют собой полиномы относительно р с переменными коэффициентами:

L [р, О = S (О р;

м {р, t),= YiCi iit)p>.

(2.13)

В случае стационарной системы уравнения (2.12) принимают вид

L{p)y = M{p)u, (2.14)

где L (р) и М (р) - полиномы с постоянными коэффициентами;

L (р) = gJa -.-P; м(р) = gct jpK

(2.15)

Систему (2.14) можно представить в обычном виде (рис. 2.5, а), где передаточная функция G (s) = 77 характеризует систему в области изображений по Лапласу. Во многих случаях нет необходимости переходить в область