гарантирует слабый минимум, в то время как обратное утверждение не обязательно верно. Оказывается, что слабые локальные минимумы можно найти методами, аналогичными методам, которые используются при отыскании точек экстремума. Определение сильных локальных минимумов имеет некоторые особенности.

Ниже изложены основные результаты вариационного исчисления и их приложение к конкретным задачам.

1. Нахождение точки минимума

В обычном анализе, когда отыскивается точка минимума дважды дифференцируемой функции f (х) на открытом интервале < х < Хь, вначале ищутся такие точки, где производная df (x)/dx обращается в нуль. Таким образом, условие df {x)/dx = О есть необходимое условие минимума. Этого, однако, недостаточно, так как точка, которая удовлетворяет этому условию, может быть также точкой максимума, или точкой перегиба. Второе необходимое условие заключается в том, что в найденной точке должно также выполняться условие df (x)/dx 0.

Однако и эти два условия не гарантируют, что найдена точка абсолютного минимума. Во-первых, если d/dx = О, то упомянутые выше два условия не обеспечивакхг достаточной информации, а, во-вторых, если даже dfldx > О, то на исследуемом интервале может быть множество точек с таким свойством. Это означает, что все такие тОчки являются точками локального минимума. Для того чтобы установить, какая из этих точек есть точка абсолютного минимума, необходимо сравнить значение функции / (х) в, каждой из этих точек, и только после этого выбрать искомую:

Приведенные выше положения могут быть математически описаны следующим образом. Пусть Xj, Xg, Х3, . . ., х являются точками, удовлетворяющими первым двум необходимым условиям минимума функции / (х); тогда точка абсолютного минимума должна удовлетворять еще одному свойству: / (х*) / (Xf) для всех i. Последнее можно назвать третьим необходимым условием существования точки минимума.

Все три необходимых условия вместе составляют достаточное условие того, что точка х* является точкой абсолютного минимума функции f (х) на интервале (х, Xj,) при условии, что второе необходимое условие записано d4

Если, f (х) дважды не дифференцируема, то некоторые или все из перечисленных выше условий применять нельзя. Например, если f (х) только дифференцируема, то первое необходимое условие dfldx = О еще остается в силе; однако условие df/dx > О необходимо заменить локальным условием f (х*) / (х) для всех X в некоторой окрестности точки х*. Аналогично, если функция f (х) лишь кусочно дифференцируема [т. е. имеется конечное число точек в интервале (х, Xj), в которых df {x)ldx разрывна], то лишь в точках непрерывности функции df/dx можно использовать первые два необходимых условия. Еще реже, но такие случаи встречаются, когда дл я отыскания минимума остается единственное условие f (х*) 7 Для проверки которого можно использовать лишь непосредственный перебор точек из интервала (х, Хь). Конечно, последний способ малопригоден для математического анализа.

Если точка минимума функции f (х) принадлежит закрытому интервалу iXa, Xf,], ТО она может совпасть и с граничной точкой х или Xj. В этом слу-

чае, даже если функция f (х) дважды дифференцируема, то рассмотренные выше первые два условия не являются более необходимыми условиями, и требуется применить более сложные методы исследования.

В случае нахождения точки минимума функции нескольких переменных f{Xi, Х2, . ., х условие минимума будет подобным, но все-таки более сложным. Первое необходимое условие превратится в требование, чтобы в каждой подозреваемой точке df/dx = О для каждого i. Вторым необходимым условием станет требование того, чтобы в каждой подозреваемой точке матрица ) [f-.jc] была неотрицательной (см. упражнение 13.1).

Третье необходимое условие непосредственно вытекает из случая одной переменной, так как оно соответствует тем случаям, когда точка минимума отыскивается на закрытом интервале, или функция f (х) не является дважды дифференцируемой.

Значительный интерес имеет отыскание точки минимума дважды непрерывно дифференцируемой функции f (Ху, . . ., х) при наличии ограничений в виде уравнений

gi (Xl, . . ., х ) = 0; . . . ; gm (Xi, . .., х ) = О *.

Существует непосредственный способ решения данной задачи, технически достаточно сложный, который заключается в исключении т переменных из совокупности Ху, . . ., Хп за счет т уравнений ограничения и последующей минимизации полученной функции (п - т) переменных, как это было описано выше. Однако наиболее целесообразно применять метод множителей Лагранжа, который кратко рассмотрим ниже. Первое необходимое условие минимума можно переписать в виде

dfixy, ..., x ) = -§-dXi = 0. ;. (13.2)

а в качестве т ограничивающих условий использовать т уравнений вида

1=1 i=i

dXi = 0. (13.3)

Если ограничения отсутствуют, то бесконечно малая величина dxi может быть взята произвольно и условие (13.2) останется в силе. Это означает df/dxi = О для всех i, что совпадает с ранее.рассмотренным случаем. Однако при наличии ограничений dx не может быть выбрана произвольно, а должна выбираться в соответствии с условиями (13.3).

Введем т параметров ipy, . . ., называемых множителями Лагранжа, и образуем условие

) Здесь использовано общепринятое обозначение fxy для записи второй частной производной df/dxdy; таким образом, матрица ] является матрицей размерности п X п с эле-

L i Ц

ьнгами df/dxi dx,-.

* Конечно, /и < ft и каждая из функций предполагается дважды непрерывно дифференцируемой.

если параметры ipi, . . ., я5 выбраны так, что т соотношений вида

равняются нулю, то оставшиеся (п - т) соотношений также должны равняться нулю. Это действительно так потому, что параметры -f (j = 1,

2.....т) теперь точно определены и оставшиеся (п - т) слагаемых могут

быть выбраны произвольно. Следовательно, для выполнения равенства (13.4) положим

Окончательно получаем п уравнений вида

2]% = 0,/=1,.2,

-M.\f + g %/) = О, i = 1, 2, ..., п, (13.5)

которые вместе с т уравнениями ограничений gj {х, . . ., x ) = О, / = 1, . . ., т образуют (т + п) уравнений с {п + т) неизвестными я]?!, . . ., х, . . ., Хп. Эти уравнения могут быть решены, если задача сформулирована правильно.

Отметим, что выражение (13.5) является точно таким же, как первое необходимое условие для нахождения точки экстремума составной функции

f + £ jei без учета ограничений.

2. Первое необходимое условие в вариационном исчислении и уравнение Эйлера-Лагранжа

Простейшая задача в вариационном исчислении предполагает минимизацию функционала вида

flL[x{t),-,t\dt - (13.6)

для нахождения минимизирующей функции х * (/), удовлетворяющей некоторому заданному граничному условию вида

Заметим, что вместо поиска точки минимума отыскивается минимизирующая функция или траектория. Это, естественно, вызывает много дополнительных трудностей. Когда класс функций, среди которых ищется минимизирующая, является достаточно хорошим , то основные шаги при нахождении экстремальной функции весьма наглядны.

Предположим, что функция L в выражении (13.6) дважды дифференцируема по переменным х, dxidt и t, и, кроме того, известно, что экстремальное