Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

известная как преобразование Фурье / (t), существует и также принадлежит Кроме того,

со со

eifp (/со) da.

Теорема Планшереля представляет собой одну из основных теорем теории преобразования Фурье.

5. Теорема Парсеваля

Если f 1 (/со) и f 2 0*J3) представляют собой преобразования Фурье соответственно действительных функций /i (f) и /.2 (О, то

I . со

h (t) h in = J 1 0 ) 2 (- /со) dco.

6. Ограниченность решения основной системы с обратной связью (10.1)

Лемма 111.1. Для любых начальных условий в основной системе с обратной связью (10.1), линейный элемент которой устойчив по выходу, а для нелинейного элемента действительно условие (10.3), сигнал и (t) является ограниченным для всех конечных значений времени 0: t<i со.

Приведем схему доказательства этой леммы. Заметим прежде всего, Что условие (10.3) подразумевает существование неубывающей функции /i(e) такой, что

\u{t)\-=\Sr[e{t), t]\hi\e{t)\)<oo дляе()<оо. (1II.1)

Исходя из выражения (10.1), можно написать следующее неравенство:

\e{t)\\eo{t)\ + \\g{t-x)\\u{x)\dx. (III.2)

Определим границы (i) и (t) следующим образом: е(т)е (0;

l (t)l m(0

для 0<т.

(111.3)

Так как в соответствии с определением функция /i ( е ) является неубывающей, имее.м Um{t) = hlem{t)]<oo, если (О < оо. (111.4)

Ввиду того, что линейный элемент предполагается устойчивым на выходе, можно определить постоянную Со и функцию G (t), т. е.

\eo{t)\

(111.5)

0(0 = J \8(r)\dx.

Покажем теперь, что для каждого с существует время и граница Um{t), 0; такие, что

1 (т)[ит (0 = А[ет(0]; е(г)1е; (0 = Со-ЬО(Оит(0. 0<тГ1.

Исходя из уравнений (1П.7а), можно написать

ет {t) - Со

ит{{)=к1еЦ)]

G{t)

(II1.6)

(Ill.Va) (111,76)



Так как G (0) = О, а G (t) является неубывающей функцией и так как h [е {f)]<coo для е (f) < оо, то отсюда следует вывод о существовании времени такого, что уравнение (iii.76) имеет решение для е (t). Это показано на рис. iii. 1. Из выражений (iii.2), (iii.4), (iii.6), (iii.76) следует, что

\u(r)\:h[e{r)], OxtTi.

В частности, для каждого Со существуют конечные положительные значения и е{Т{) такие, что

]u{t)\:h[em{Ti)]=Um{Ti

Г1Х00; I

Г1Х00, OTi. 1

(iii.8)

Повторяя те же рассуждения для последовательных интервалов

~п~1


[Ti, Л + .....

n-1 n

можно показать, что при ]2 7*1 Jj

п

\ л

<с оо;

i, 2, 3, . . .

\e{t)

em ( S Тс

\u(t)\h

eJT,) eJt)

Рис. iii. 1. Построение, показывающее соотношение между пределами вщ (t) и (0. определяемыми уравнением (iii.3)

ет S

i=l / J

(iii.9)

Как и в случае n=0, справедливость соотношений (iii.9) основана на конечности граничных значений с при реакции на начальные условия en (tn) системы, полученной путем

сдвига во времени исходной системы (10.1) на величину tn = t- оно показать (про-

делайте самостоятельно), что эти границы определяются следующим образом:

Сп - п-\ Л~ <п

гЛ G(oo) = co+G(oo) и V; Г/); п=1, 2, 3... >

\г=1 / 1=1 \/=1 /

(iii.10)

Так как Um ( 2j Ti <оо, to для каждого конечного числа п интервалов Тг((-1, .... л) \i=i I

имеем конечное значение с , определяемое с помощью равенства (iii. 10). Это служит основой справедливости неравенств (iii.9) для конечного п, т. е.

е()<оо, м(0<оо для 0=00. iii.2. Доказательство леммы 10.1

Пусть 1 е° и (О I Ей> О для счетного множества интервалов 4 4 +6ft, О 6а< Лц.! - 00 и tf .где й = О, 1, 2, . . ., тогда

со N-1

[[e*u(t)fdt:sA\mVelbk-=oo,

если e6 расходится. k=o



Последнее противоречит предположению леммы. Поэтому для того, чтобы

J [е (ОрА<оо, О

необходимо иметь еи (t) О при оо или произведения еб, > О составляли убывающую

последовательность, обеспечивающую сходимость ряда еб. Это означает, что площа-

/е=0

ди импульсов ek&k должны приближаться к нулю при k -> оо, т. е. и (t) может быть не равна нулю при оо только на счетном множестве бесконечно малых окрестностей.

Таким образом, если и (f) не стремится к нулю при всех оо, то м (f) можно выразить -только через бесконечную последовательность импульсов с уменьшающимися площадями

> 6,6 обеспечивающую сходимость ряда s6.. Это означает существование некоторого положительного числа Г такого, что

I е и (t+T)\

:ii-i{t-tk)~-ii.i(t--tk~m для tZ,

где (t) - единичная ступенчатая функция. ,

Для реакции линейного элемента на сигнал и {t -\- Т) можно написать ,*

е е (t-\-T)\

: S Gak {t - tk),

ft=0

fte g(-t)dT.

Заметим, что вследствие устойчивости на выходе линейного элемента [условие (10,9)] имеем

для - ft оо, 6fe > О и а/е > 0; Gak (О о для - ft > о, б* о и Ofe > 0;

для t - tk>0, 6,6 > О и йй-> 0. Так как нами уже установлено, что произведение akbk О при fe оо, отсюда следует lim е *е ( + Г) = lim е е (О 1 = 0.

Таким образом, лемма 10.1 доказана.

Ш.З. Доказательство основной теоремы гл. 10 (теоремы 10.1)

Доказательство сводится к показу того, что при данных ограничениях условия (10.19) являются достаточными для выполнения неравенства (10.10) при . = О, т. е. для заданных начальных условий имеем

(t) dt < оо.

Если это условие выполняется, то система является системой асимптотически устойчивого управлению; кроме того, из условий теоремы 10.1 и из леммы 10.2 следует, что эта система имеет также асимптотически устойчивой по выходному сигналу. Определим следующие усеченные функции:

и(0. ОГ; О, t<0;t>T; ieo{t), OtT; V (0 = 1 о, < 0; > О, где Т - конечный интервал времени;

Со (О - реакция линейного элемента на начальные условия.

(0 =

(III.11)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.