известная как преобразование Фурье / (t), существует и также принадлежит Кроме того,

со со

eifp (/со) da.

Теорема Планшереля представляет собой одну из основных теорем теории преобразования Фурье.

5. Теорема Парсеваля

Если f 1 (/со) и f 2 0*J3) представляют собой преобразования Фурье соответственно действительных функций /i (f) и /.2 (О, то

I . со

h (t) h in = J 1 0 ) 2 (- /со) dco.

6. Ограниченность решения основной системы с обратной связью (10.1)

Лемма 111.1. Для любых начальных условий в основной системе с обратной связью (10.1), линейный элемент которой устойчив по выходу, а для нелинейного элемента действительно условие (10.3), сигнал и (t) является ограниченным для всех конечных значений времени 0: t<i со.

Приведем схему доказательства этой леммы. Заметим прежде всего, Что условие (10.3) подразумевает существование неубывающей функции /i(e) такой, что

\u{t)\-=\Sr[e{t), t]\hi\e{t)\)<oo дляе()<оо. (1II.1)

Исходя из выражения (10.1), можно написать следующее неравенство:

\e{t)\\eo{t)\ + \\g{t-x)\\u{x)\dx. (III.2)

Определим границы (i) и (t) следующим образом: е(т)е (0;

l (t)l m(0

для 0<т.

(111.3)

Так как в соответствии с определением функция /i ( е ) является неубывающей, имее.м Um{t) = hlem{t)]<oo, если (О < оо. (111.4)

Ввиду того, что линейный элемент предполагается устойчивым на выходе, можно определить постоянную Со и функцию G (t), т. е.

\eo{t)\

(111.5)

0(0 = J \8(r)\dx.

Покажем теперь, что для каждого с существует время и граница Um{t), 0; такие, что

1 (т)[ит (0 = А[ет(0]; е(г)1е; (0 = Со-ЬО(Оит(0. 0<тГ1.

Исходя из уравнений (1П.7а), можно написать

ет {t) - Со

ит{{)=к1еЦ)]

G{t)

(II1.6)

(Ill.Va) (111,76)

Так как G (0) = О, а G (t) является неубывающей функцией и так как h [е {f)]<coo для е (f) < оо, то отсюда следует вывод о существовании времени такого, что уравнение (iii.76) имеет решение для е (t). Это показано на рис. iii. 1. Из выражений (iii.2), (iii.4), (iii.6), (iii.76) следует, что

\u(r)\:h[e{r)], OxtTi.

В частности, для каждого Со существуют конечные положительные значения и е{Т{) такие, что

]u{t)\:h[em{Ti)]=Um{Ti

Г1Х00; I

Г1Х00, OTi. 1

(iii.8)

Повторяя те же рассуждения для последовательных интервалов

~п~1

[Ti, Л + .....

n-1 n

можно показать, что при ]2 7*1 Jj

п

\ л

<с оо;

i, 2, 3, . . .

\e{t)

em ( S Тс

\u(t)\h

eJT,) eJt)

Рис. iii. 1. Построение, показывающее соотношение между пределами вщ (t) и (0. определяемыми уравнением (iii.3)

ет S

i=l / J

(iii.9)

Как и в случае n=0, справедливость соотношений (iii.9) основана на конечности граничных значений с при реакции на начальные условия en (tn) системы, полученной путем

сдвига во времени исходной системы (10.1) на величину tn = t- оно показать (про-

делайте самостоятельно), что эти границы определяются следующим образом:

Сп - п-\ Л~ <п

гЛ G(oo) = co+G(oo) и V; Г/); п=1, 2, 3... >

\г=1 / 1=1 \/=1 /

(iii.10)

Так как Um ( 2j Ti <оо, to для каждого конечного числа п интервалов Тг((-1, .... л) \i=i I

имеем конечное значение с , определяемое с помощью равенства (iii. 10). Это служит основой справедливости неравенств (iii.9) для конечного п, т. е.

е()<оо, м(0<оо для 0=00. iii.2. Доказательство леммы 10.1

Пусть 1 е° и (О I Ей> О для счетного множества интервалов 4 4 +6ft, О 6а< Лц.! - 00 и tf .где й = О, 1, 2, . . ., тогда

со N-1

[[e*u(t)fdt:sA\mVelbk-=oo,

если e6 расходится. k=o

Последнее противоречит предположению леммы. Поэтому для того, чтобы

J [е (ОрА<оо, О

необходимо иметь еи (t) О при оо или произведения еб, > О составляли убывающую

последовательность, обеспечивающую сходимость ряда еб. Это означает, что площа-

/е=0

ди импульсов ek&k должны приближаться к нулю при k -> оо, т. е. и (t) может быть не равна нулю при оо только на счетном множестве бесконечно малых окрестностей.

Таким образом, если и (f) не стремится к нулю при всех оо, то м (f) можно выразить -только через бесконечную последовательность импульсов с уменьшающимися площадями

> 6,6 обеспечивающую сходимость ряда s6.. Это означает существование некоторого положительного числа Г такого, что

I е и (t+T)\

:ii-i{t-tk)~-ii.i(t--tk~m для tZ,

где (t) - единичная ступенчатая функция. ,

Для реакции линейного элемента на сигнал и {t -\- Т) можно написать ,*

е е (t-\-T)\

: S Gak {t - tk),

ft=0

fte g(-t)dT.

Заметим, что вследствие устойчивости на выходе линейного элемента [условие (10,9)] имеем

для - ft оо, 6fe > О и а/е > 0; Gak (О о для - ft > о, б* о и Ofe > 0;

для t - tk>0, 6,6 > О и йй-> 0. Так как нами уже установлено, что произведение akbk О при fe оо, отсюда следует lim е *е ( + Г) = lim е е (О 1 = 0.

Таким образом, лемма 10.1 доказана.

Ш.З. Доказательство основной теоремы гл. 10 (теоремы 10.1)

Доказательство сводится к показу того, что при данных ограничениях условия (10.19) являются достаточными для выполнения неравенства (10.10) при . = О, т. е. для заданных начальных условий имеем

(t) dt < оо.

Если это условие выполняется, то система является системой асимптотически устойчивого управлению; кроме того, из условий теоремы 10.1 и из леммы 10.2 следует, что эта система имеет также асимптотически устойчивой по выходному сигналу. Определим следующие усеченные функции:

и(0. ОГ; О, t<0;t>T; ieo{t), OtT; V (0 = 1 о, < 0; > О, где Т - конечный интервал времени;

Со (О - реакция линейного элемента на начальные условия.

(0 =

(III.11)