ГЛАВА 9

УСТОЙЧИВОСТЬ в БОЛЬШОМ и ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА

в гл. 5 были введены понятия асимптотической устойчивости в большом и Б целом и было отмечено, что для этих случаев отсутствует единый подход, который, например, подобно первому методу Ляпунова позволял бы установить факт устойчивости на основе линеаризации. Вызывает затруднения анализ устойчивости в большом даже в случае простейшей системы, включающей линейный стационарный объект и безынерционную нелинейность, поскольку несправедливы ни гипотеза Айзермана, ни гипотеза Калмана.

Можно, правда, при достаточно сильных ограничениях обосновать ряд методов, дающих достаточные условия устойчивости в большом. К числу таких фундаментальных методов следует отнести второй метод Ляпунова, метод Пойова и некоторые подходы, использующие идеи функционального анализа, в основном принцип сжатых отображений. Перечисленные методы и составляют предмет обсуждения данной и последующих двух глав.

Первоначально второй метод Ляпунова [130] был предложен как метод для анализа устойчивости в малом. Точнее говоря, он был предназначен для установления факта устойчивости (в смысле Ляпунова) положения равновесия динамической системы. Основное достоинство метода заключается в том, что он позволяет судить об устойчивости, не отыскивая при этом точного решения системы исходных уравнений. В дальнейшем было показано, что метод позволяет установить свойство устойчивости в большом и асимптотической устойчивости Б целом. Интенсивные исследования ученых многих стран позволили еще в большей мере расширить область применения указанного метода; и лишь недавно интерес ученых стал несколько ослабевать, поскольку выявились принципиальные ограничения, связанные с таким подходом.

В этой главе мы прежде всего изучим метод Ляпунова в применении к анализу устойчивости в малом; затем используем его для анализа устойчивости Б большом. Далее покажем, как можно, используя метод Ляпунова, получить практически важные результаты, но вместе с тем и укажем на те ограничения, которые присущи данному методу и выявлены к настоящему времени.

9.1. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА

Идея, лежащая в основе второго метода Ляпунова, достаточно проста и наглядна. Рассмотрим произвольную физически возможную автономную систему. По мере того, как полная энергия системы монотонно уменьшается, она приближается к положению равновесия. Это обусловлено тем, что энер-

гия есть неотрицательная функция состояния системы, минимум которой-определяется состоянием покоя системы в одном из устойчивых положений, равновесия.

Не следует переоценивать значения полной энергии при оценке устойчивости; любая другая неотрицательная функция состояния системы была бы также приемлема для этих целей.

Обратимся к автономной системе второго порядка вида

Xl = fl (Xi, Хг); х, = /г ii, 2)-

Ради общности рассуждений допустим, что осуществлена такая замена переменных, при которой рассматриваемое нами положение равновесия переведено в начало координат и, следовательно, выполняется условие

/1 (О, 0) = f, (О, 0) = 0.

1 Уь

Допустим, что известна функция состояния системы V {xi, Ха), которая положительна всюду, за исключением начала координат, где эта функция равна 0. Если изобразить функцию х = V {x-i, х,) в координатах (х, х Хд), то в окрестности начала координат ее геометрический образ напоминает чашу (рис. 9.1).

Если к тому же удастся показать, что движение системы Б окрестности начала координат происходит Б направлении убывания функции V независимо от начальных условий (х, Хго), то это означает, что начало координат рассматриваемой системы асимптотически устойчиво.

Если же движение системы таково, что функция V не возрастает, т. е. либо уменьшается, либо равна константе, то может оказаться, что существует множество положений равновесий, в каждом из которых функция V = const. Поскольку такие возможности нельзя исключить из рассмотрения, то в общем случае и нельзя гарантировать асимптотическую устойчивость системы относительно начала координат, хотя есть основания ожидать, что начало координат будет, по меньшей мере, устойчиво. Заметим, что справедливо следующее соотношение:

Рис. 9.1. Всюду положительная, за исключением начала координат Xi = =Х2=О, функция V X2>

dV dt

dv dx.

dxi dt

Такое представление позволяет установить связь производной функции V с системой исходных дифференциальных уравнений. Поскольку функции V и fl известны, то для определения свойства устойчивости достаточно проана-

лизировать полученную выше производную не отыскивая точного решения системы дифференциальных уравнений.

Если все сказанное выше распространить на системы п-го порядка, то это и образует основу второго метода Ляпунова. В дальнейшем будем считать, что каждой системе п-го порядка поставлена в соответствие функция V {х), удовлетворяющая следующим условиям:.

1. Функция V {х) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой (открытой) области м, включающей начало координат и удовлетворяющей .условию д: < а где а > О (предпола-

гается, что в каждой точке области Ы рассматриваемая система имеет единственное решение),

2. Функция V (х) является в области М определенно положительной функцией *.

3. Производная по времени функции V вдоль траекторий системы X = = / (х) является знакоотрицательной функцией в области Как уже говорилось выше,

2 -iereidVYxiyVffix), (9.1)

При ЭТОМ grad V = \V и представляет .-мерный вектор, t-я компонента dv

которого равна .

Функция, удовлетворяющая всем перечисленным свойствам, называ.ется функцией Ляпунова.

При п = 2 функция Ляпунова имеет простую геометрическую интерпретацию, о которой упоминалось в начале этого параграфа.

Однако, к сожалению, не существует общего метода, который позволял бы достаточно просто определять знакоопределенность выбранной скалярной функции V (х). Именно этот факт значительно ограничивает применимость достаточно сильных теорем этого метода, о которых будет идти речь ниже. Более того, при этом существенно ограничивается число способов построения функций Ляпунова. Читателю, последовательно изучающему материал данной книги, следует в дальнейшем не забывать об этих трудностях.

Рассмотрим следующие два важных случая, когда оказывается возможным выявить свойство знакоопределенности функции V {х).

1. Если V (х) есть квадратичная форма переменных Xj, равная (см. приложение I)

Vix)=fjkiiXiX,; (9.2)

где kij - действительные числа, то, следуя результатам § 1.7 (приложение I), можно записать

V(x) = xQx, (9.3)

* Функция V (х) определенно положительна (отрицательна), если F (0) = О, и F (х)> О при X ф О или, в общем случае, знакооыределенна.

Функция V (х) знакоположительна (знакоотрицательна), если V (х) 0 (0) и равна нулю в начале координат, а также, по крайней мере, еще в одной точке области й?; в общем случае такие функции называются знакопостоянньми.

Если функция V (х) определенно положительна (знакоположительна), то - F (х) определенно отрицательна (знакоотрицательна).

Если функция не является ни знакопостоянной, ни знакоопределенной, то она называется знакопеременной. Например, для системы третьего порядка функции

Fl {х) = 4 + 24 + 2X12 +4={ху + xf + х1+х1и V2 (X) х\ + х1 + х1

являются определенно положительными.

Функция (х) = xf -Ь 2 -Ь Зх - Хз определенно положительна в области S?, определяемой неравенством Хз К ТАз .

Функция F4 (х) = (Xj-j-Xg)-Ь х знакоположительна, поскольку она равна нулю при Xi = -Ха, Xg = 0.

Функция F5 (х) = Xj -Ь Х2 + знакопеременна.