Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

для ij3 (/) alb = +1 или ij3 {t) = bja. Ha это ясно указывает данная геометрическая схема при Г> Видно, что и в этом случае плоская сторона в выпуклом множестве С (Г) также дает необходимое решение.

16.4. ВЫРОЖДЕННЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В ДРУГИХ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

В других видах задач оптимального управления следствием вырожденности не обязательно является неединственность решения. Это относится даже к задачам с простейшими линейными стационарными объектами управления.

Пример 16,5- Найти оптимальное управление ы* {t) с учетом (0 которое переместит управляемый объект вида л:=иизл:=3вл:=2за8 сек, минимизируя вместе с тем

интеграл d. о

На основе принципа максимума находим

Н-х + и, (16.13)

ij=2x (16.14)

х=и. (16.15)


-9 D

8 t

6 8 t

Рис. 16.4. Функции X* (t), -ф (t) и ы* (t) системы, рассматриваемой в примере 16.5

Из Н* = max Н видно, что оптимальное управление должно иметь вид

* = sign ]5 (16.16)

всякий раз, когда ф 0.-

При рассмотрении этой задачи можно сразу же заметить следующее; 1) релейное управление совершенно неприменимо к данному конкретному ряду чисел; 2) if может стать тождественно равным нулю всякий раз, когда л; = О (и, следовательно, 1]з = 0). При ij) = О принцип максимума не дает достаточной информации, и для получения решения необходимо использовать другие методы. В этом случае истинное решение можно легко получить на основе простого рассуждения.

Заметим, что if (0) не может быть положительной, так как это приведет к неограниченному возрастанию х. После некоторого анализа можно убедиться также в том, что1]з (0) не может быть равной нулю (ответьте - почему?). Таким образом, функция 1]з (0) должна быть отрицательной. Однако из выражения (16.14) следует, что ij) (0) является положительной. Таким образом и* (f) должна быть равна -1 в интервале времени О t< 3.

, Однако при f = 3 из физического смысла следует, что функция if становится равной нулю. При t = 6 снова имеем, что для удовлетворения краевому условию if должна стать положительной, а и* (t) - равной +1, при которой л;* перемещается от О до 2 за 2 сек.

Функции X* {t), if {t) и и* (О нанесены на график (рис. 16.4) в зависимости от t. Из выражения (16.14) следует, что if должна быть непрерывной, т. е. функция if должна иметь непрерывные первые производные при = 3 и t = 6.

Задачи особого управления могут возникнуть также в том случае, когда функционал / становится лишь функцией граничных точек. Эта ситуация может возникнуть, если подынтегральное выражение L в задаче Лагранжа представляет собой точный интеграл. Дифференциальное уравнение

dx f(x, t) g{x, t)

считается уравнением в полных дифференциалах, если

дх ~ dt

(16.17)

(16.18)



Для такого уравнения, если выбрать функцию h (х, t) такой, что

dh dt

= f{x,t);

имеем

.dX+-dt = -g(X, t)dx+fiX, t)dt :

(16.19)

(16.20)

уравнение (16.20) означает, что точное дифференциальное уравнение вида (16.17) эквивалентно уравнению dh = О, а следовательно, его можно проинтегрировать для получения h {х, t) =с, где с произвольная постоянная.

В вариационном исчислении может встретиться следующая задача.

Пример 16.6. Найти траекторию, которая удовлетворяет краевым условиям х (tj) = = % и .V (fg) = Ха и минимизирует функционал

/= U3xxt + x>)dt.

Так как

{Zx4t + x)dt= 3x2 tdx+ xdt= d {jfit),

TO /* = X22 - ДЛЯ любой траектории удовлетворяет этим краевым условиям.

Можно предположить, что указанный выше класс задач отличается от обычных вариационных задач. Однако последнее не обязательно по двум причинам. Во-первых, для задач, включающих дифференциальные уравнения, из теоремы единственности следует, что имеется самое большее лишь одна траектория, которая может удовлетворить краевому условию. Это по меньшей мере устраняет неединственность в оптимальном решении. Во-вторых, в задачах с многими переменными вырожденное управление появляется лишь на особых гиперповерхностях, а в остальной области решение является невырожденным. Основной задачей тогда является определение этих особых поверхностей и установление того, что вырожденные решения являются оптимальными.

Оба упомянутых выше условия встречаются в классе систем, который рассмотрели Уонхэм и Джонсон [201].

Рассмотрим линейный стационарный объект управления, который является полностью управляемым и имеет один вход. Тогда без потери общности уравнение этой системы можно написать в нормальной форме JC = Ах + Ьи, где

. 0

; & =

as .

предположим, что желательно найти оптимальное управление а* {t) с учетом ] (/) 1, которое переводит систему из произвольного начального состояния ЛГо в начало координат О за какой-то отрезок времени Т (Т свободное) с тем, чтобы минимизировать показатель качества / =

[xit) Q X (t)) dt, где Q -диагональная матрица: Q= diag {д. . ., q ),



где 9; О, г = 1, . . ., п. При использовании принципа максимума имеем H = ii>Ax+{ib)u--xQx,

откуда сразу же получим условие

и* (t) = sign (ifn (t)) всякий раз, когда % (t) ф 0. (16.21)

Поэтому следует найти особые случаи, когда if (t) обращается в нуль на каком-то конечном интервале времени. Рассмотрим

4f (0 = 0.

Канонические уравнения для Xi имеют-вид

Х\ = х,

Х = Xg]

Xfi-l Xji, п

Хп = Ъ GiXi + и,

(16.22)

а уравнения для следующие:

фа = - Фх - йгФп + ф2.х%.

(16.23)

ft-i = - -2 - ап-1% + п-Л-х;

Фп = - - аЖ - ЯпХп-

Если фп S О, Фи S О, то из последнего уравнения (16.23) имеем

п-1 = ЧпХп или ru-i = qjn. (16.24)

При использовании соотношений (16.24) последнее уравнение (16.22)

дает

(Фп-2 + n-l*ft - Уп-Л-х),

(16.25)

что справедливо всякий раз, когда абсолютное значение правой части меньше единицы. В последнем случае и является функцией некоторых из х- и ф и последние уравнения из (16.22) и (16.23) сводятся к алгебраическим соотношениям и могут не рассматриваться при анализе дифференциальных уравнений (16.22) и (16.23).

Теперь первые (п - 1) уравнений (16.22) и первые {п - 1) уравнений (16.23) наряду с (16.24) дают свободную линейную инвариантную по времени систему 2 (п - 1)-го порядка. Первые {п - 1) уравнений (16.22) образуют гиперповерхность в пространстве состояний. Эта гиперповерхность является особой, так как на ней !; (t) = 0. Кроме того, управление ы* {х), удовлетворяющее уравнению (16.25), удерживает изображающую точку на этой гиперповерхности.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 [ 150 ] 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.