для ij3 (/) alb = +1 или ij3 {t) = bja. Ha это ясно указывает данная геометрическая схема при Г> Видно, что и в этом случае плоская сторона в выпуклом множестве С (Г) также дает необходимое решение.

16.4. ВЫРОЖДЕННЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В ДРУГИХ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

В других видах задач оптимального управления следствием вырожденности не обязательно является неединственность решения. Это относится даже к задачам с простейшими линейными стационарными объектами управления.

Пример 16,5- Найти оптимальное управление ы* {t) с учетом (0 которое переместит управляемый объект вида л:=иизл:=3вл:=2за8 сек, минимизируя вместе с тем

интеграл d. о

На основе принципа максимума находим

Н-х + и, (16.13)

ij=2x (16.14)

х=и. (16.15)

-9 D

8 t

Рис. 16.4. Функции X* (t), -ф (t) и ы* (t) системы, рассматриваемой в примере 16.5

Из Н* = max Н видно, что оптимальное управление должно иметь вид

* = sign ]5 (16.16)

всякий раз, когда ф 0.-

При рассмотрении этой задачи можно сразу же заметить следующее; 1) релейное управление совершенно неприменимо к данному конкретному ряду чисел; 2) if может стать тождественно равным нулю всякий раз, когда л; = О (и, следовательно, 1]з = 0). При ij) = О принцип максимума не дает достаточной информации, и для получения решения необходимо использовать другие методы. В этом случае истинное решение можно легко получить на основе простого рассуждения.

Заметим, что if (0) не может быть положительной, так как это приведет к неограниченному возрастанию х. После некоторого анализа можно убедиться также в том, что1]з (0) не может быть равной нулю (ответьте - почему?). Таким образом, функция 1]з (0) должна быть отрицательной. Однако из выражения (16.14) следует, что ij) (0) является положительной. Таким образом и* (f) должна быть равна -1 в интервале времени О t< 3.

, Однако при f = 3 из физического смысла следует, что функция if становится равной нулю. При t = 6 снова имеем, что для удовлетворения краевому условию if должна стать положительной, а и* (t) - равной +1, при которой л;* перемещается от О до 2 за 2 сек.

Функции X* {t), if {t) и и* (О нанесены на график (рис. 16.4) в зависимости от t. Из выражения (16.14) следует, что if должна быть непрерывной, т. е. функция if должна иметь непрерывные первые производные при = 3 и t = 6.

Задачи особого управления могут возникнуть также в том случае, когда функционал / становится лишь функцией граничных точек. Эта ситуация может возникнуть, если подынтегральное выражение L в задаче Лагранжа представляет собой точный интеграл. Дифференциальное уравнение

dx f(x, t) g{x, t)

считается уравнением в полных дифференциалах, если

дх ~ dt

(16.17)

(16.18)

Для такого уравнения, если выбрать функцию h (х, t) такой, что

dh dt

= f{x,t);

имеем

.dX+-dt = -g(X, t)dx+fiX, t)dt :

(16.19)

(16.20)

уравнение (16.20) означает, что точное дифференциальное уравнение вида (16.17) эквивалентно уравнению dh = О, а следовательно, его можно проинтегрировать для получения h {х, t) =с, где с произвольная постоянная.

В вариационном исчислении может встретиться следующая задача.

Пример 16.6. Найти траекторию, которая удовлетворяет краевым условиям х (tj) = = % и .V (fg) = Ха и минимизирует функционал

/= U3xxt + x>)dt.

Так как

{Zx4t + x)dt= 3x2 tdx+ xdt= d {jfit),

TO /* = X22 - ДЛЯ любой траектории удовлетворяет этим краевым условиям.

Можно предположить, что указанный выше класс задач отличается от обычных вариационных задач. Однако последнее не обязательно по двум причинам. Во-первых, для задач, включающих дифференциальные уравнения, из теоремы единственности следует, что имеется самое большее лишь одна траектория, которая может удовлетворить краевому условию. Это по меньшей мере устраняет неединственность в оптимальном решении. Во-вторых, в задачах с многими переменными вырожденное управление появляется лишь на особых гиперповерхностях, а в остальной области решение является невырожденным. Основной задачей тогда является определение этих особых поверхностей и установление того, что вырожденные решения являются оптимальными.

Оба упомянутых выше условия встречаются в классе систем, который рассмотрели Уонхэм и Джонсон [201].

Рассмотрим линейный стационарный объект управления, который является полностью управляемым и имеет один вход. Тогда без потери общности уравнение этой системы можно написать в нормальной форме JC = Ах + Ьи, где

предположим, что желательно найти оптимальное управление а* {t) с учетом ] (/) 1, которое переводит систему из произвольного начального состояния ЛГо в начало координат О за какой-то отрезок времени Т (Т свободное) с тем, чтобы минимизировать показатель качества / =

[xit) Q X (t)) dt, где Q -диагональная матрица: Q= diag {д. . ., q ),

где 9; О, г = 1, . . ., п. При использовании принципа максимума имеем H = ii>Ax+{ib)u--xQx,

откуда сразу же получим условие

и* (t) = sign (ifn (t)) всякий раз, когда % (t) ф 0. (16.21)

Поэтому следует найти особые случаи, когда if (t) обращается в нуль на каком-то конечном интервале времени. Рассмотрим

4f (0 = 0.

Канонические уравнения для Xi имеют-вид

Х\ = х,

Х = Xg]

Xfi-l Xji, п

Хп = Ъ GiXi + и,

(16.22)

а уравнения для следующие:

фа = - Фх - йгФп + ф2.х%.

(16.23)

ft-i = - -2 - ап-1% + п-Л-х;

Фп = - - аЖ - ЯпХп-

Если фп S О, Фи S О, то из последнего уравнения (16.23) имеем

п-1 = ЧпХп или ru-i = qjn. (16.24)

При использовании соотношений (16.24) последнее уравнение (16.22)

дает

(Фп-2 + n-l*ft - Уп-Л-х),

(16.25)

что справедливо всякий раз, когда абсолютное значение правой части меньше единицы. В последнем случае и является функцией некоторых из х- и ф и последние уравнения из (16.22) и (16.23) сводятся к алгебраическим соотношениям и могут не рассматриваться при анализе дифференциальных уравнений (16.22) и (16.23).

Теперь первые (п - 1) уравнений (16.22) и первые {п - 1) уравнений (16.23) наряду с (16.24) дают свободную линейную инвариантную по времени систему 2 (п - 1)-го порядка. Первые {п - 1) уравнений (16.22) образуют гиперповерхность в пространстве состояний. Эта гиперповерхность является особой, так как на ней !; (t) = 0. Кроме того, управление ы* {х), удовлетворяющее уравнению (16.25), удерживает изображающую точку на этой гиперповерхности.