, Можно заметить, что для особого управления возможен случай, когда и* (t) не является релейной, т. е. ы (t) < (У. В этом случае, как было показано в § 13.4, множитель Я должен исчезнуть, а это обеспечивает условие dLJdu = 0. Таким образом, нам удалось показать, что для рассматриваемого в данной главе класса задач оптимальная вырожденная траектория характеризуется удовлетворением вдоль нее условия Лежандра-Клебша,

Наличие &Ljdt? ~ О объясняется тем, что и появляется в функции (определяемой в гл. 13) лишь линейно. В рассматриваемой здесь задаче

Li{х,х, , и) =.fo{X, t) + go {X) t) u-\-if{x~f {X, t)~g (x, t)u) (16.42)

H ЯСНО; что dLi/ди = 0. Действительно, гамильтониан в этом случае имеет вид

Н (х, ,и) = - и (х, t)-g (х, t)u + if (х, t)~g (х, t) и) (16.43)

н дШди = 0. Если dLjdu = dHldu = О, то можно ожидать появления вырожденного управления.

Еще одно свойство вырожденной траектории состоит в том, что вдоль лее равна нулю избыточная функция Вейерштрасса

£(jc*, л:, Jt*. , *) = 0. (16.44)

Доказательство для класса систем, описываемых уравнениями (16.36) и (16.37), рекомендуем проделать самостоятельно.

16.6. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВЫРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЙ

До сих пор нам удалось установить, что часто можно получить вырожденные оптимальные решения; однако при этом не приводился простой метод проверки, с помощью которого можно находить различие между действительно оптимальными вырожденными решениями и неоптимальными решениями.

Подобную проверку можно осуществить с помошью вариационного исчисления. Так как многие необходимые условия, получаемые путем взятия первой вариации в вариационном исчислении, тривиально удовлетворяются особыми решениями, то вполне можно попыгаться найти проверку путем использования второй вариации.Подобную проверку нашел Келли [104]. Тейт [181 ] развил дальше возможности применения этой проверки.

Дляполучения результатов Келли рассмотрим типичную задачу Майера, в которой система с одним управляющим воздействием х = f (х, и) должна управляться из начального состояния х (t,) = лг таким образом, чтобы минимизировать функцию конечного состояния Р {x{tz)). Не вдаваясь в ненужные детали, предположим, что система стационарна я Xq, я фиксированы.

Предположим также, что оптимальное вырожденное решение л:* (t) и оптимальное управление и* (t) находим в интервале времени t t,. -Определим теперь условия, которым должны удовлетворять эти функции.

При использовании правила множителей (теорема 13.1) приведенная выше задача эквивалентна задаче минимизации функционала

fi. = Pix{t))tt.+ f -фх-ЛМ it

безотносительно к уравнениям системы х = f.

Пусть X* (t) и и* (t) получают приращения бл: (t) и бы (t); тогда, пользуясь членами первой степени, получим

(16.45)

/х + ел - р (X* {t))tti Ч- {У бх ittz +

+ \{ix-f)-it{§bx + bu)+i4-x) dt.

Таким образом,

бЛ = {J bxUt. - J (я1/(f Ьх + l Ьи) ~ .Ьх) dt. (16.46)

В соответствии с предположением о том, что исходная траектория и управление, относительно которого должны браться все производные, являются оптимальными, то bf ?= 0. Так как оптимальная траектория является вырожденной, то равенство нулю б/ не дает достаточно полезной информации.

Сделаем еще один шаг для получения второй вариации. Для этого

удобно взять гамильтониан Я = if / и написать в форме fi =

= Р (х {t))t=tz + (fx - Я) dt. Учитывая при разложении лишь члены

.ДО второй степени И заметив, что вдоль оптимальной траектории член б/j, определяемый выражением (16.46), равен нулю, имеем

fl + 6/1 + 4 1 = + S +

6V, = bxbx\t=tz-.

(16.48)

где бР/дл: представляет собой матрицу [дР/дхдх,], а дН/дхди- вектор с f-M элементом, dH/dxi дият. д.

Если л:* (О и и* (t) представляли собой минимизирующие решения, то необходимо, чтобы 8fi О для любых возмущений бл: и бы, которые удовлетворяют уравнению первой степени, приближенно описывающему систему:

бл:(1) = бл: ( = 0.

(16.49) (16.50)

Используя Ьи в форме

О / т;

(16.51)

klA, X <tx + А; ~k/A, т + А < т + 2А; О т + 2А < /

и принимая величину А достаточно малой, можно показать [104], что необходимым условием для О является условие вдоль оптимальной траектории

в том случае когда задача оптимизации представлена в форме Больца,

т. е.,/ = Р (л; (/2)) + L {х, и, t) dt подлежит минимизации, то можно

показать, что необходимое условие остается в форме (16.52), где Я = = -L -i-iff- Эффективность этой проверки заключается в той легкости, с которой ее можно применить.

Пример 16.8. Используя проверку в виде (16.52) применительно к задаче, рассматриваемой в примере 16.5, имеем Я = -л:-j-я))и; д=*Р ~ ~ 2

ди W \ди))

Таким образом, проверка вьшолнена и любое особое решение, удовлетворяющее краевым условиям задачи, также является оптимальным.

Пример 16.9. Используя проверку (16.52) применительно к задаче, рассматриваемой в примере 16.7, имеем

Н =--1- л:? + + ipfy + яР2 ;

и снова любое вырожденное решение, удовлетворяющее краевому условию, является оптимальным.

16.7. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В задачах оптимального управления могут наблюдаться вырожденные и особые случаи. Поэтому при решении таких задач необходимо проявлять осторожность. Особые задачи оптимального управления характеризуются тем, что составляющая сопряженного вектора ijo (при формулировке задачи на основе принципа максимума) исчезает.

Особые задачи оптимального управления появляются для системы с гамильтонианом вида (16.5), когда имеется оптимальная траектория, вдоль которой все необходимые условия удовлетворяются частью Я данного гамильтониана. Более четкое представление об особых задачах оптимального управления можно получить, если изучить аналог подобных задач в вариационном исчислении (см. § 16.1).

За исключением нечетко сформулированного случая, в котором показатель качества не зависит от решений, особые задачи управления серьезно не изучались.

Вырожденное оптимальное управление наблюдается в том случае, когда большинство необходимых условий, выводимых из первых вариаций, удов-