Это означает, что из выполнения гипотезы Калмана следует выполнение гипотезы Айзермана. Однако обратное неверно.

В силу более жестких ограничений можно ожидать, что гипотеза Калмана справедлива всегда. Однако недавно было показано, что гипотеза Калмана также ошибочна. В частности Р. Е. Фиттс [51] рассмотрел систему (см. рис. 5.7), для которой

Кр -Ь 0,5)2 + 0,92И(р + 0,5)2 -f 1, IT (5.87)*

Линейная система при / (е) = ke будет устойчива для всех к, удовлетво-ряюи;их условию - 0,7124 k <оо (убедитесь в этом). Тогда при / (е) = = условия гипотезы Айзермана (5.85) и условия гипотезы Калмана (5.86) выполняютсй. Однако Фиттс в результате моделирования на аналоговой установке пока Зал, что в системе возникают автоколебания **, и, следовательно., гипотезы Калмана и Айзермана не выполняются. Вильяме [200] дал аналитическое доказательство того, что указанные гипотезы ошибочны.

Однако следует отметить, что ошибочность этих гипотез проявляется лишь при анализе в некотором смысле необычных систем. Действительно, для линейной системы с обратной связью, когда G (р) определяется из выражения (5.87) я f (е) = ke, можно показать, что корни характеристического уравнения I + kG (К) = О с ростом k приближаются к мнимой оси плоскости к. Заметим, что по мере роста k степень устойчивости системы становится меньше. Для нелинейной функции / (е) = е®, рассмотренной Р. Е. Фиттсом, система приближается к границе устойчивости по мере увеличения сигнала е\. По крайней мере экспериментальные результаты Фиттса подтвердили именно это, поскольку колебания в системе возникали лишь при достаточно больших начальных возмущениях.

Интуитивно ясно, что мера, в которой справедливы гипотезы Айзермана и Калмана, связана со степенью устойчивости линейной системы управления *** при / (е) = ke, когда k удовлетворяет либо условию (5.85), либо условию (5.86). С инженерной точки зрения как гипотеза Айзермана, так и более строгая гипотеза Калмана могут служить прекрасными эмпирическими правилами.

Заслуживает внимания еще одно замечание. Почти во всех случаях, когда вследствие применения гипотезы следуют ошибочные результаты; неустойчивость всегда проявляется в возникновении автоколебаний. По крайней мере чаще всего элемент насыщения в системе, в конце концов, ограничивает амплитуды всех сигналов, и тогда автоколебания являются единственным способом проявления неустойчивости.

Поскольку в настоящее время отсутствует общий путь определения асимптотической устойчивости в целом, а неустойчивость на практике проявляется в ввде автоколебаний, то нам необходимо найти условия существования в системе предельного цикла. Этот вопрос и будет рассматриваться в последующих трех главах.

* Функция G (р) относится к определенному виду линейных элементов, рассмотренных в работе Фиттса [51].

** Фиттс [51 ] также показал, что, анализируя систему методом гармонической линеаризации в предположении о двухчастотиых колебаниях (гл. VII), можно выявить автоколебания в системе.. Такой же подход лежит в основе метода Вильямса.

*** Степени устойчивости линейных систем управления определяются по наикратчайшим расстояниям от мнимой оси до корней (в левой полуплоскости) характеристического уравнения (Я) -г 1 == О для ряда значений коэффициентов к.

5.10. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В нелинейных системах наблюдается большое многообразие различных типов движений. В связи с этим при введении понятия устойчивости для нелинейных систем следует проявлять значительную осторожность. Если в системе имеется несколько изолированных положений равновесия, то необходимо анализировать устойчивость для каждого из этих положений.

Понятия, введенные А. М. Ляпуновым для исследования устойчивости (определение 5.1) и асимптотической устойчивости (определение 5.2), позволяют анализировать движение системы в окрестности положения равновесия. Эти определения характеризуют свойство устойчивости в малом. Границы области устойчивости при этом заранее неизвестны.

Для автономных систем устойчивость в малом изолированного положения равновесия может быть исследована в результате линеаризации системы относительно положения равновесия при условии, что линеаризация возможна и полученные линейные уравнения имеют лишь собственные значения с отрицательной действительной частью. Справедливость полученных при этом результатов опирается на первый метод Ляпунова (теорема 5.1). Можно осуществить линеаризацию и относительно некоторой траектории системы. Как правило, в этом случае возникают нестационарные линейные уравнения. Если уравнение системы нестационарно, то понятия устойчивости следует видоизменить. Это связано с тем, что, с одной стороны, время отработки заданного уровня может сильно зависеть от момента приложения возмущений (пример 5.16); с другой стороны, реакция системы в некоторый момент времени неограниченно растет по мере изменения начальных условий (пример 5.17). Если наложить на систему требование равномерной асимптотической устойчивости (определение 5.9), то обе из указанных возможностей исключаются из рассмотрения.

Для того чтобы установить свойство равномерной асимптотической устойчивости траектории системы, необходимо исследовать линеаризованное уравнение на равномерную асимптотическую устойчивость (теорема 5.2). Что касается анализа траекторий, в частности замкнутых траекторий, то понятия Ляпунова об асимптотической устойчивости оказываются слишком ограниченными. С этой точки зрения ни один предельный цикл не обладает свойством асимптотической устойчивости. Для анализа таких траекторий оказывается полезным ввести понятие орбитальной асимптотической устойчивости (определение 5.10). Это понятие распространяется на анализ произвольных замкнутых траекторий и зон равновесия (определение 5.14). В §5.8 приводятся некоторые теоремы существования предельных циклов в системах второго порядка и их орбитальной асимптотической устойчивости. Глава завершается обзором проблем, связанных с определением асимптотической и асимптотической устойчивости в целом для нелинейных систем управления. Понятия об этих типах устойчивости вводятся при помощи определений (5.15) и (5.16). Выдвигаются две гипотезы: гипотеза Айзермана и гипотеза Калмана, которые позволяют связать свойство асимптотической устойчивости в целом некоторого класса нелинейных систем с устойчивостью линейной системы. В общем случае обе гипотезы ошибочны; однако их несправедливость проявляется в исключительных случаях, и их можно рассматривать как полезные для практики эмпирические правила. Показано также, что неустойчивость в нелинейных системах проявляется в виде автоколебаний, обсуждению которых будут посвящены три последующие главы.

5.11 ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ 5.1. Система, описываемая уравнением у = - м; у ф)= О, имеет частное решение:

Ух {t) = -

для м = 1;

1+е2

Читателю предлагается .

а) найти лииеаризов.аниое уравнение системы относительно этого решения;

б) ответить на вопрос, можно ли по полученному уравнению при и = О определить устойчивость в малом относительно положения равновесия = О?

в) показать, что в системе у = у, которая ие удовлетворяет обобш;енному условию Липшица, координата у (f) стремится к бесконечности, когда t -s- tq.

5.2. Рассмотрите систему, приведеи-

и=2е-е

Рис. 5.8. Структурная схема системы управления для примера 5.2

гееО

1/=со5(е)

Рис. 5.9. Структурная схема системы управления для примера 5.3

иую иа рис. 5.8.

Читателю предлагается:

а) написать уравнения в координатах е и е;

б) найти все равновесные состояния системы и определить их устойчивость.

5.3. Рассмотрите систему, показанную на рис. 5.9.

Читателю предлагается:

а) написать уравнения состояния системы в координатах е и е;

б) найти все равновесные состояния системы и определить их устойчивость.

5.4. Радиальное движение летательного аппарата в поле силы тяжести задается уравнением

/ L2 \ к

г - радиус летательного аппарата от центра приложения сил; т - масса летательного аппарата; L - кинетический момент; т, k, L к п - постоянные (причем и - целое число).

а) найдите условие для г, при котором летательный аппарат описывает круговую орбиту;

б) покажите, что условие и < 3 является необходимым для орбитальной устойчивости кругового движения.

5.5. Эта задача (И. Малкии) дает возможность показать, что условие асимптотической устойчивости ие следует считать обязательным. В некоторых случаях область устойчивости слишком мала для практического применения. Возможно и обратное: система может иметь неустойчивое положение равновесия, но быть устойчивой при больших сигналах;

а) дайте физическую интерпретацию того, что начало координат системы, описываемой уравнением х~ -0,01л; + является асимптотически устойчивым. Покажите, что для

0 1 0,1 система имеет бесконечное множество решений;

б) покажите, что начало координат системы х= 0,01л; - х неустойчиво. При этом какое бы ни было значение хо, решение системы стремится к значению либо +0,1, либо -0,1. Изобразите характерные траектории системы в координатах х, t.

5.6. Снаряд единичной массы вылетает со скоростью под углом 6 к горизонту и движется лишь под действием силы тяготения с ускорением g. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Читателю предлагается:

а) записать переходную матрицу данной задачи;

б) найти коэффициент чувствительности, определяющий изменение дальности полета от изменения начального угла в;

в) определить коэффициент чувствительности, устанавливающий величину изменения дальности полета от ускорения g. .

5.7. Система удовлетворяет дифференциальному уравнению x+l-J-- х= 0.

Является ли начало координат системы иа интервале О < =

а) устойчивым;

б) асимптотически устойчивым;

в) эквиасимптотически устойчивым;

г) равномерно устойчивым.