численным способом. Для иллюстрации рассмотрим линейную систему п-го порядка:

x{t) = A (t) X (t) + В {t)u it). (12.16)

Будем считать, что А (t), В (t) и и (t) известны и необходимо найти траекторию, для которой первые р компонент вектора состояния удовлетворяют условиям

1 (l) ~ 11 2 (l) - 21) Хр (tj) = Хрг, ]

Xl {iz) - 121 2 (2) ~ 22> Хр (/2) - р2

гяе р = -.

Остальные компоненты вектора х при и произвольны. Общее решение уравнения (12.16) запишем в виде

л: (/) = Ф it, h) X {ti)+\ Ф [t, %) В (т) и (т) dx. (12.17а)

Введем обозначение

(О = I Ф {t, х) В (т) и (т) dx,

где лг< ) {t) - частное решение системы (12.16). Поскольку переходная матрица Ф {t, ty) может быть найдена при интегрировании уравнения Ф (t, t= = А (t) Ф (t, ti) с начальным условием Ф {t, t) = /, то л: ) {t) определено для всех t на отрезке It, tz]. Запишем уравнение (12.17) при t = виде

X (4) = Ф (2, i) X (t) + (4) (12.176)

и надлежащих граничных условиях. Заметим, что при заданных Ф (t, ti) и л:( ) (/2) уравнение (12.176) определяет п неизвестных, из них компонент вектора х (t) и компонент вектора х (t). Поскольку соотношение

(12.176) определяет п алгебраических уравнений, то отыскание этих решений не вызывает трудностей.

Для нелинейных систем отсутствует единый подход к решению двухточечных граничных задач. Именно поэтому подавляющее большинство решенных оптимальных задач связано с линейными объектами. Известен ряд численных методов, позволяющих решать некоторые нелинейные двухточечные задачи, используя итерационные процедуры. Однако все эти примеры тем или иным образом связаны с линеаризацией, которая дает возможность получить результат, воспользовавшись простотой решения линейной двухточечной задачи.

В заключение отметим, что указанный подход позволяет распространить результаты § 12.2 на более широкий класс систем, например, линейных систем с переменными параметрами. Кроме того, можно рассмотреть случаи, когда верхний предел интегрирования конечен, а вектор х в конечной точке отличен от нуля. Эти вопросы мы рассмотрим в следующих главах, а сейчас перейдем к решению задач оптимального управления простейшими линейными объектами с постоянными параметрами.

* Общее решение уравнения (12.16) содержит только п произвольных постоянных. Поэтому п граничных условий может быть задано. Вовсе не обязательно, чтобы эти условия были распределены поровну между двумя граничными точками. В дальнейшем предполагается, что п - число четное, но могут быть случаи, когда п - любое положительное число.

12.4. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

Впервые с задачей оптимального быстродействия нам пришлось столкнуться в гл. 4, где был рассмотрен объект, состоящий из двух интегрирующих звеньев. Полученные ранее результаты позволяют решить поставленную задачу во всей ее полноте.

Как уже отмеч;алось в гл. 4 [пример 4.1 (случай 6)], по-видимому, разумно выдвинуть следующую гипотезу: оптимальное по быстродействию управление всегда соответствует максимальной энергии, обусловленной либо разгоном, либо торможением системы. На заре исследования этого класса систем указанная гипотеза играла важную роль, поскольку предположение о ее справедливости позволяло во многих случаях определить закон управления и требуемые линии и поверхности переключения в фазовом пространстве. Правда, имеющиеся в распоряжении инженеров математические методы не позволяли дать исчерпывающий ответ о справедливости гипотезы, и поэтому всегда присутствовало неотступное опасение, что гипотеза, известная под названием гипотезы о релейном управлении, может оказаться неверной.

Наконец, в 1956 г. справедливость гипотезы для случаев, когда осуществлялось управление линейным стационарным объектом, была доказана *. Доказательство этого положения приводится в гл. 14, а сейчас рассмотрим некоторые свойства оптимальных систем с постоянными параметрами, предполагая, что гипотеза о релейном управлении справедлива.

Во-первых, изучим релейное управление линейными стационарными объектами второго порядка, числитель передаточной функции которых равен 1. Допустим, что требуется перевести объект из произвольного начального состояния в начало координат за минимальное время, используя релейное управление с амплитудой ±U.

Для решения этих задач целесообразно воспользоваться фазовой плоскостью. Если у - выходная координата системы, то фазовый портрет строится на плоскости {у, у) и позволяет сразу же установить следующие свойства: во-первых, знак управления различен для первого и третьего квадрантов фазовой плоскости, поскольку для первой четверти, где у > О, г/ > О, выходная координата положительна и возрастает, и, следовательно, управление равно -и. Аналогично для третьего квадранта < 0; < О и управление равно +U. Таким образом, линии переключения всегда расположены во втором и четвертом квадрантах.

Во-вторых, не всякая система второго порядка может быть переведена из произвольных начальных условий в начало координат, поскольку свободное движение может превалировать над вынужденным, и тогда при управлении любого знака не удастся избежать расходимости процесса. Таким образом, неустойчивыми объектами можно управлять лишь в некоторой окрестности начала координат **.

В-третьих, для рассматриваемой задачи характерйа симметрия, так что требуется исследовать поведение системы лишь на части фазовой плоскости.

Наконец, траектории движения обладают тем свойством, что вслед за последним, переключением следует движение по траектории, проходящей

* См, статью Болтянского В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягина Л. С. К теории оптимальных процессов . Доклад АН СССР , т. НО, 1956, № 1, стр. 7-10 {Прим. ред.).

** Заметим, что в системе первого порядка х = ах-\- и, аУ О, и == ±U при аха> 11/ управление отрицательного знака не сможет предотвратить возрастания координаты х; если же ахй <С\и \, то отрицательное управление позволяет осуществить перевод изображающей точки в начало координат. В дальнейшем мы воспользуемся этим замечанием.

через начало координат. Часть траектории в четвертом квадранте, соответствующая управлению -\-U и проходящая через начало координат, определяет половину линии переключения. Другая половина симметрична относительно начала координат, расположена во второй четверти и соответствует управлению -U. Если вспомнить способ формирования управления объектом с двумя интегрирующими звеньями, когда линия переключения делила фазовое пространство на две части, в каждой из которых управление имеет определенный знак (см. рис. 4.8), то становится очевидным, что линия переключения единственна. При этом в системе должно выполняться самое большее одно переключение.

Простейший способ нахождения линии переключения заключается в решении задачи в обратном времени . В этом случае движение начинается из начала координат, и соответствующая часть линии переключения определяется заданием управления либо либо -U. Этот же прием позволяет весьма просто отыскать линию переключения с помощью аналоговых средств; столь же успешно и его аналитическое применение. Обратимся к следующему примеру.

Пример 12.1. Пусть объект управления с двумя действительными полюсами а и Ь, но без учета динамики числителя описывается уравнением вида

-f {а+ b)y - aby= и (t),

положим х, = у и Х2= у, тогда получим

Xi = Х2,

2 = - (а + Ь) Х2~ abxi + и.

(12.18)

Рассмотрим точку jCo на линии переключения, отстоящую во времени на Т сек от начала координат. Введем переменную т = Т ~ t. Предположим, что при t = d объект находится в точке JCo- Тогда при прямом течении времени начало координат будет достигнуто при t= Т. При обратном течении времени, когда движение начинается из начала координат при t = О, объект достигает точки Хо в момент времени х= Т. Поскольку справедливы соотношения

dx (t) dx (т) . dx (t) d4 (x)

dt rfT df относительно переменной x, то система (12.18) примет вид

Xg = (с; -- Ь) Х2 + ofcxj - и,

,± dx(r)

где X =i

Здесь мы имеем

(12.19)

(12.20)

а собственные значения равны к, = + ; = +fc [в отличие от (-а), (-Ь) для системы с прямым отсчетом времени].

Двигаясь из начала координат с уравнением и (0) = +t/, можно проверить, что переменные

Xi (т) =

а{а - Ь) Н (т) =

а - Ь

b{a~b)

ie ~ 1);

а - Ь

(12.21)

Описывают линию переключения. Разрешая эти уравнения относительно х, получим