ГЛАВА 12 КАЧЕСТВО И ОПТИМАЛЬНОСТЬ

Проектировщикам систем управления хорошо известны большие трудности, связанные с получением высоких показателей качества процессов управления. Например, весьма желательно создание системы управления, отрабатывающей команды без ошибок. Однако получить такую систему на практике просто невозможно. И система этого вида может служить только идеалом, к которому следует стремиться.

В процессе проектирования систем управления, кроме критериев качества, приходится учитывать некоторые другие факторы: возможность практической реализации элементов, наличие элементов в серийном производстве и их стоимость. С учетом этих факторов еще более неопределенным становится суждение о системе, как близкой к идеалу .

Для разных проектировщиков и заказчиков это суждение будет иметь совершенно различный характер *. Тем не менее инженер пытается решить проблему приближения проектируемой системы к идеальной на основе некоторого математического критерия, а затем, минимизируя его, находит решение, позволяющее получить оптимальную (по выбранному критерию) систему. Примерами могут служить минимизация среднего значения квадрата ошибки или интеграла от квадрата ошибки, а также минимизация расхода топлива или времени достижения заданного значения.

В последние годы было предложено несколько методов, облегчающих нахождение оптимальных решений для определенных классов систем управления в указанной выше математической форме. Все эти методы близки к вариационному исчислению. В их число входят принцип максимума Понтрягина, динамического программирования Беллмана. Общий недостаток этих методов заключается в получении необходимых, но не достаточных условий, которым должна удовлетворять оптимальная система.

Отметим несколько нерешенных проблем в теории оптимизации, касающихся математической формулировки критериев оптимальности. Принятый критерий не всегда отражает в полной мере требования, предъявляемые при проектировании, системы, т. е. удовлетворение данному критерию не дает гарантии выполнения некоторых других требований, как, например,-устойчивости при действии .возмущений. По крайней мере, трудно ожидать, что для сложной системы выбранный критерий оптимальности может охватить все требования, предъявляемые к системе.

* Достаточно указать лишь на традиции организации, ведущей разработку. Если разрабатывающая организация до получения последнего заказа разрабатывала (или использовала) гидрав.чические элементы в системах управления, то вряд ли она будет их заменять электрическими и т. п. (Прим. ред.).

Иначе говоря, если принято решение использовать аналитический критерий оптимальности, то, составляя его, следует учитывать разрешимость поставленной оптимальной задачи. Здесь же заметим, что решение задачи оказывается достаточно сложным, несмотря на наличие ряда современных математических методов. Аналитическим * путем или с помощью вычислительных машин синтезируются управления лишь для тех систем управления, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями низкого порядка. С ростом порядка системы значительно увеличиваются математические трудности. Поэтому вряд ли можно ожидать в недалеком будущем, что цифровые вычислительные машины смогут решать такие задачи. Кроме того при решении оптимальных задач, как правило, подразумевается, что входной сигнал полностью определен **. В частности, ступенчатый входной сигнал целесообразно задавать в том случае, когда его длительность значительно превосходит наибольшую постоянную времени системы. Это условие существенно ограничивает область.применения теории оптимального управления.

Наконец, имеющиеся подходы дают возможность определить лишь программу управления, в то время как инженерная практика требует решения задач синтеза.

Тем не менее было бы неверным утверждение о бесполезности теории оптимального управления. К настоящему времени обнаружено большое число прикладных задач, которые удается решать на основе теории оптимальных систем. Например, задача оптимизации дальности полета при заданном расходе топлива или минимизации стоимости сводится к определению программы управления. Следует также отметить, что число практических задач, к которым применимы методы теории оптимальных систем, все время растет. Это и служит хорошим стимулом для изучения теории оптимальных систем управления.

Решение задач оптимального управления определяет эталон, к которому следует стремиться при решении более сложных практических задач. В ряде случаев практическая реализация найденных законов управления даст результаты, близко совпадающие с желаемыми. Если же этого не удалось получить, то это значит, что имеются возможности улучшения системы. Вид оптимальной функции управления может подсказать проектировщику те направления, по которым следует вести работу для улучшения системы, а изучение структуры оптимальной системы может помочь спроектировать приемлемую для практики систему, близкую к оптимальной. Применение цифровых вычислительных машин для анализа и синтеза систем управления пока ограничено. Но благодаря хорошо поставленным задачам оптимального управления наблюдается значительный интерес к изучению цифровых вычислительных машин для их применения в системах управления.

В следующих главах будет сказано о вариационном исчислении, принципе максимума Понтрягина и динамическом программировании, а также их использовании при решении задач оптимального управления. При этом основное внимание будет уделено рассмотрению ряда положений, без которых невозможна постановка задач оптимального управления. Сначала рассмотрим класс задач оптимального управления, которые можно решить, не применяя новых принципов. Затем будет показано, как решение некоторых задач

* Аналитические методы развиты лишь для систем управления с объектами второго и третьего порядка (Прим. ред.).

** Если входной сигнал является случайным, то необходимо задать его статистические характеристики.

управления приводит к необходимости применения нового математического аппарата. Например, задача получения в линейной системе с существенными ограничениями апериодического процесса малой длительности может быть решена, исходя из простых соображений, хотя при этом не удается оценить правильность полученных результатов. В случае решения других задач оптимального управления одной интуиции будет недостаточно и требуются новые теоретические методы.

12.1. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ, ФОРМУЛИРОВКИ И ПРИМЕРЫ

Класс задач оптимального управления, рассматриваемый в этом параграфе, характеризуется следующими свойствами:

1) объект управления описывается уравнением вида

x=:f{x, и, t);

2) время начала процесса t, начальное положение х (ty) =Ху; время

конца процесса /g и конечное положение х (t) = х, должны быть заданы. Довольно часто конечное время /g не установлено, и требуется, чтобы оно было минимальным, необходимым для достижения конечного положения jCg. Можно также требовать, чтобы область цели была отлична от точки;

3) показатели качества, по которым проектируется система управления, задаются в виде

f = P(Ху, х, ty, t) + \L(х, и, t)dt; (12.1)*

4) возможны дополнительные ограничения, которые накладываются на управление и и (или) координатыл:. Например, из-за ограничения мощности имеется ограничение вектора управления и, записываемое в виде V и (t) и, где и к V - постоянные векторы.

Итак, целью управления является нахождение такой функции и в разомкнутом и (t) или в замкнутом и (х, t) видах, которая переводит систему из положения Ху в момент времени t- в положение х к моменту времени t при минимуме (максимуме) функционала f.

Рассмотрим некоторые классы задач оптимального управления.

1. Оптимальные задачи по быстродействию

Пусть дана система х = f [х, и, t); начальное время t; начальное и конечное положения системы Xi,\x2 ограничения, накладываемые на управление u,\ui {t) \ и (f = 1, 2, . . ., г). Необходимо перевести систему из положения Ху при ty в л:2 за минимальное время t*.

Для этой задачи функция Р в уравнении (12.1) будет равна нулю, а функция L - единице. Критерий качества системы запишем в виде следующего функционала:

. f\dt. (12.2)

Заметим, что верхний предел интегрирования заранее не известен, хотя всегда вьшолняется условие t - ty = t*.

* В выражении (12.1) / является функционалом, который зависит от поведения х (t) и и (/) при 2> 3 также от величин х,. х, h, t, поэтому следует ввести обозначе-

ние / [х (О, и if), Хх, х, t-x, t\, но для краткости будем писать просто /.