Пусть линейный элемент рассмаггриваемой системы всвбуждается этими функциями. Тогда его выход -{f) будет определяться как

ej (О == V if) - \s(t- т) (т) dx.

(П1.12>

где g {f) - импульсная переходная функция линейного элемента.

В соответствии с условиями теоремы 10.1 ив соответствии с выражениями (10.9) и (III. 11) при а = О ог (О и g (f) представляют собой функции, интегрируемые с квадратом в интервале О оо, т. е. бог (t) 6 2 и g (О 6 2 * То же относится к к ит (t), как это определяется

соотношениями (III. 11) вследствие ее усеченности и ограниченности цдля конечного интервала времени (лемма III. 1), т. е. г (О € 2г- Поэтому в соответствии с теоремой Планшереля три функции бог (О (О и и (f) имеют соответственно преобразования Фурье for (/<J>). G (ju>} и Urd) каждое из которых принадлежит S.- Преобразование Фурье (III. 12) имеет вид

Ет (/со) = £оГ (т - G (/со) Ut (/со). (III.13)**

Введем теперь следуюш,ий интеграл:

- 6 + Re[(l + 1Щ) G (/ш)] I Ut (М \ da =

(III.14a>

2л 1

-6-+(1 +/и?)0(/ш)

\Ut (/w) da.

(111.146)

где 6>0. Выражения (III. 14a) и (III. 146) эквивалентны, так как Im [ (1 + jwq) GQu))] представляет собой нечетную функцию со. Следовательно, ее интеграл на интервале -оо О) :-оо равен нулю.

Условие Попова (10.19) теоремы 10.1 означает, что /0, или иначе***

70, если условие (10.19) удовлетворено. (111.15)

Учитывая, что Ut (/ш) р = Ut (/ш) Ut (-/ш), и подставляя соотношение (III. 13) в интеграл (III. 146), получим

[(х-)

Ut (/со) - (1 -f /со?) Ет (/со) + (1 + /со?) Ет (/со)

Ut{-/со) do).

(111.16)

* См. § ИЫ.

** Для доказательства, что Ej-(fa) сначала с помощью выражения (111.11) и лем-

мы ИМ, найдем

I Uj- (/to) I =

e-iu (t) dt

Щ \dt<co.

Поэтому

j I c? (/CO) c/ (/CO) pdto < j (Old< j I c? (/CO) И dco.

-CO Lo -CD

Так как G (/со) то G (/со) Uj (/со) И, наконец, вследствие того, что Ej (/со)

из условия (1И.13) и неравенства Минковского (см. § 111.11) следует, что Ej (/со)

*** Условие Попова (10.19) можно записать следующим образом: . .

- 6 + Re [(1 + jaqlG (/со)] > 0.

В соответствии с теоремой 10.1 это неравенство выполняется только для со > 0. Одна1<о из основного свойства преобразований Фурье, согласно которому Re G (-/со) = ReG (/со) и Im ci ( - /со) = = Im (i (/со), вытекает, что левые части приведенного выше неравенства или правые части (111.14а> останутся неизменными, если со заменить на -со. Отсюда, если приведенное выше неравенство справедливо для со > О, то из выражения (111.14а) следует, что / > 0.

Подстановка соотношения Парсеваля в интеграл (П1.16) дает

{j~&)oT{t)~eT(t)-qeT{t)+eoT(t) + qeoT(i)] UT(t)dt. (П1.17)

Из условий (П1Л1) и (П1.12) замечаем, что

етЦ)=е(г) для ОГ.

Поэтому можно написать

/= f [(~б)и(0-е(01 (ОЛ-р о о

(П1.18)

leo{t)+qe,{t)]u{t)dt.

(HI.19)

Если условие Попова (10.19) справедливо, то с учетом неравенства (111.15) из выражения (111.19) получим

е(0-(-б) (0] u(t)dt+q u{t)e{t)dt[eoU)+qeoU)]ii(t)dt, (111.20)-

Теперь в соответствии с требованиями теоремы 10.1 имеем (и/е)[0. К]. Поэтому так как О К оо, то

(111.21)

Применяя неравенство (111.21) к левой части, а неравенство Шварца к правой части выражения (111.20) и затем умножив обе части (111.20) на 1/6, получим

Г т т

uHt)dt+qj u{t)e{t)dt-leo(t)+qeo{t)]u(t)dt

[e,(t)+qe,(t)rdt

(П1.22)

Ju (Г) =

(О dt

(И1.23а)

/j,(r)=- u{t)e(t)dt = - ( u(t)de{t);

(111.236)

[e,{t) + qe,(t)fdt

(111.23b)

здесь /р (Г) - криволинейный интеграл по пути Г, характеризующий функциональное соотношение u(t)= [e(t), t] для 0tT,aJo{T) зависит только от начальных условий.

Необходимо найти условия для асимптотической устойчивости управления, т. е. условия, для ксягорых (ГХ оо при Г = оо. Добавив (положительную) величину [/о(Г)/2бР к обеим частям (III.22), получим

(111.24)

Из выражении (III.23) замечаем, что (Г) (оо). Поэтому из соотношения (III.24) следует

Так как правая часть приведенного выше неравенства не зависит от Т, левая часть действительна для каждого значения Т, включая Г = оо. Таким образом, можно н-аписать

и М--26 о*)

(III.25)

Неравенство (III.25) имеет фундаментальное значение. С помощью его можно доказать отдельные утверждения теоремы 10.1, соответствующие различным типам нелинейных элементов. Из выражений (10.9), (III.23) и неравенства Минковского следует, что для заданных начальных условий

el(t} dt

]-el(t)

< оо.

(III.26)

Таким образом, если можно показать, что выражение -qlj (оо) О, то из неравенства (III.25) следует, что (оо) < оо, т. е., это определяет асимптотическую устойчивость управления. Рассмотрим теперь различные случаи, охватываемые теоремой 10.1.

1. Общий случай: 9 = 0, И () = [е (t), t]

При 9=0 неравенство (III.25) сводится к виду

Ju (оо)

Jo (оо)

Г 1

Jo (оо)

или, используя неравенство (III.26) для q = О, получим

J el (t) dt

Ju 4 0 M -g-

< oo.

(III.27)

Из леммы 10.2 следует, что и (t) v. е (t) интегрируемы с квадратом, а это доказывает, что случай 9 = О в теореме 10.1 имеет место для общего функционального соотношения и (t) = = Sr [е (О, t].

2. Частный случай: Од <оо, активный гистерезис, или стационарная функция u(t) = ff[e{t)]

Активный гистерезис задается условием (10.46) в определении 10.2. Результаты для этого случая будут использованы при доказательстве теоремы для более важных случаев пассивного, гистерезиса и однозначной функции u = f (е).

С учетом соотношений (10.46) и (III.23) неравенство (III.25) принимает вид

Ju М

/о(оэ)

е (со)

и (t) de (t) :

r -frco

u{t)de(t)+ Ji(od),

(III.28)

где Го - любой из возможных путей (незамкнутый путь), определяемый соотношением и = = \e(t)\ сяг О до е (0), а Г - любой возможный путь от е (0) к е (оо). Вследствие того, что ы/е [О, К], оба криволинейных интеграла в (III.28) должны быть больше или равны нулю.