но, благодаря краткости формулировки принципа максимума, теоремы получаются более строгими и сжатыми. И, наконец, задача становится проще, благодаря геометрическому подходу, что вносит новый вклад в решение двухточечной краевой задачи.

14.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Рассмотрим линейный стационарный объект управления

х = Ах + Би

с начальным условием х (tj) = Xi.

Предположим, что А имеет различные действительные и отрицательные собственные значения. Предположим далее, что В представляет собой неособую матрицу [bij] размерностью пхп, и, таким образом, и (t) есть п-мер-ный вектор. Без потери общности предположим далее, что ti = О, и, кроме того, что для рассматриваемой задачи определен соответствующий масштаб, вследствие чего на функцию управления и (t) накладывается ограничение

Задача сводится к тому, что с учетом указанного выше ограничения найти такую функцию и* (t), чтобы изображающая точка х (t), стартуя из состояния Xl при = О, достигала начала координат за минимальный отрезок времени. Найденное управление и* (t) назовем оптимальным по быстродействию управлением.

Преобразуем систему к канонической форме. Здесь А становится диагональной матрицей, состоящей из собственных значений Л. Решение такой системы имеет вид

Xi (О = Xl (0) ei* + ei J erh- ii () * = > - (l-)

0 /=1

В случае неособой матрицы В можно показать, что задача имеет решение, т. е. существует допустимая функция управления (т. е. функция, удовлетворяющая ограничению и,- 1), которая удовлетворяет условиям задачи.

Из рассмотрения выражения (14.2) видно, что существование допустимой функции управления п (t), которая может перевести состояние из х в О, эквивалентно существованию функций щ (t) для О и t = 1, . . . п,. удовлетворяющих ограничению () 1 и существованию такого момента времени t, что

Xi{U) = 0 = Xi(0)et*2 + ei*\ e-tYbijUf{x)dx, i = l, ..., п (14.3> или, эквивалентно

~х, (0) J e--i 5] bijuj {x)dx, i=l, п. (14.4).

о i=l

Можно легко установить, что так как матрица В является неособой, то для каждого вектора х (0) существуют постоянные допустимые значения Uj (t) (I Uf I 1) и момент времени t, которые удовлетворяют уравнению-(14.4).

После того как существование допустимой функции управления для рассматриваемой задачи доказано, следующим этапом является нахождение-

наилучшей из числа допустимых функций управления. В нашем случае требуется найти такое оптимальное управление, чтобы свести к минимуму время 2 в уравнение (14.4).

Диапазон значений, которые могут принимать все допустимые функции управления и (/), обозначим через множество fl, которое в нашем случае можно представить себе в виде я-мерного куба ы,- 1 в п-мерном эвклидовом пространстве.

Куб любой размерности обладает тем свойством, что находящиеся в нем две любые точки можно соединить прямой линией, все точки которой также лежат в пределах этого куба. Любое множество точек, обладающее этим свойством, называют выпуклым множеством. Математически выпуклое множество представляет собой такое множество точек, для которого выполняется

О О О

а} б; В)

Рис. 14,1. Множества: с~и 6J- выпуклые; в - невыпуклое

следующее условие: если точки а и b принадлежат этому множеству, то все точки на линии аа -f (1-а) b для всех а, удовлетворяющих условию Oal, также принадлежат этому множеству. Таким образом, на рис. 14.1, а и б показаны двумерные выпуклые множества, а на рис. 14.1, в - множество, которое не является выпуклым. В дальнейшем понятие выпуклого множества играет важную роль.

Для упрощения систем обозначений множество всех допустимых функций и (f), определенных на замкнутом интервале времени [О, t], будем обозначать как множество Qf.

Рассмотрим уравнение (14.4). При каждом выборе допустимой функции и (т) на интервале О t, получаем в результате вектор х (0), обозначающий начальное состояние системы, которое можно привести к началу координат конкретным выбором и (т). Тогда для всех допустимых функций и (т) на интервале О т f2 можно сопоставить совокупность соответствующих векторов X (0), которая образует достижимое множество (3 (t) в пространстве состояний системы. Множество С {t можно рассматривать также и как результат преобразования множества допустимых управлений Qf с помощью соответствия (14.4).

Можно использовать стандартное сокращенное обозначение и записать G (/а) таким образом:

e(td= ~1 e--Bu{x)dx; ueQtJ. (14.5)

Правая часть выражения (14.5) означает следующее: множество всех

точек, удовлетворяющих условию - j еВп (т) dx, когда и принадлежит множеству Qf.

Теперь можно показать, что при и (т), выбираемом из допустимого множества й, достижимое множество G {t будет выпуклым. Это объяс-

няется тем, что если (4) и (г) представляют собой точки, достижимые соответственно путем выбора Wi (т) и itg (т) (О т 4), т. е. если компоненты Piitz) и Ра (2) определяются как

iz п

о /=1

ti п

Рп (2) = J 2 i 2i (т) dx, i = 1,... n,

о /=1

(14.6)

то точки, лежащие на линии, соединяющей (t и ра (2). имеют координаты

ар1£ (2) + (1 - а)р2.- (2) = j 2 (f) + (1 - О) 2/ (т)] dx,

о /=1

/=: 1, . . .,П

api(2) + (1 - сс)ра (у = je-fi[a i(t)+ (!- ) Иа(т)] т (14.7)

ДЛЯ всех О а 1. Функция ап (х) -Ь (1-а) а (т), очевидно, представляет собой допустимое управление для всех а, что и доказывает сказанное выше.

Рассматривая теперь множество G (t) как функцию t, видно, что в момент времени = О, оно состоит лишь из точки О, но по мере увеличения t множество G (t) монотонно расширяется (покажите это). В любой момент времени t множество О (t) состоит тогда из всех тех начальных точек х (0), которые можно переместить в начало координат за время t или меньше путем какого-либо выбора допустимой функции управления и (т), где О т = .

Так как О (t) представляет собой монотонно расширяющееся множество, то для каждого начального состояния х (0) минимальное время определяется таким моментом времени t*, когда множество G (i*) коснется точки х (0) Для некоторой допустимой функции управления и (т), О т t примем

X (и, t) = -Je-fi (т) dx. Из выражения (14.5) следует, что х {и, t)

g G (t). Следствием расширения замкнутого и выпуклого множества G (t) является следующий факт: когда G (f) не содержит точки х (0), то всегда можно найти вектор Ц( такой, что для любой точки х ( , t) из множества G (f) справедливо следующее неравенство:

{qU{U,t)){riU{0)). (14.8)

В частности, геометрически, rj может быть вектором внешней нормали к опорной плоскости множества G (t) в точке, где вектор х (0) проникает

) Ради математической строгости необходимо показать, что множество G (t) замкнуто, так как именно это свойство гарантирует, что в некоторый момент времени изображающая точка X (t) совпадает с х (0). По существу, замкнутое множество включает в себя все свои граничные точки. Граничными точками множества 6 (t) являются все точки р в S , для которьк при любом 8, каким бы малым оно ни было, найдутся точка pj, лежащая в С, и точка ра. не входящая в С, такие, что и Ц - Р1 и Ра - РII меньше г. Замкнутость G (t) Беллман доказал с помощью теорем о свойствах банахова пространства. Здравый смысл в рассматриваемом случае также подсказывает, что множество G (t) является замкнутым.