Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

в том случае, когда время Т является бесконечньш, напомним, ссылаясь на гл. 13, что оптимальная функция управления с обратной связью представляет собой постоянную матрицу, умноженную на текущее состояние. В рассматриваемом здесь одномерном случае следует ожидать, что оптимальное управление с обратной связью будет представлять собой константу, умноженную на выходной сигнал.

При 7 оо состояние х и функция управления и должны стремиться к нулю, так как в противном случае функционал / будет бесконечньш. Однако, когда Итх (t) = О, то зна-

чение р (О невозможно определить краевьм условием lim f* (х, t) = р (t) x = О и необхо-

димо искать другие пути.

Из уравнения (15.38) следует, что если Pi> р, то при Т оо k 0; уравнение (15.36) указывает на то, что р {t) = р,. Таким образом, lim р (f) = max (р р), а этот предел пред-

ставляет собой постоянную величину. Отсюда следует, что dp/dt= 0.

Следовательно, при Т оо оптимальное управление равно и* (t) = рх (t), где постоянная р есть больший из двух корней многочлена р + (2с2а/6) р - Cicjb = 0.

Общую задачу приведенного выше типа, которую можно назвать задачей о синтезе регулятора, рассматривали Мерриэм Л139], Калман [92]. [96] и другие. Она формулируется следующим образом. Дан линейный нестационарный объект управления, который описывается уравнением. X = А (t) X + В (t) и с начальным условием л: (t,) = х, я с незаданным конечным состоянием л:(2)- Необходимо найти оптимальную функцию управления и* {t) на интервале [t tz], минимизирующую функционал

х\х) Q (т) X (т) + и (т) R (т) (т)] dx, (15.40)

где М, Q (t) и R (t) - симметричные матрицы, причем Q (t) и R (t)

являются положительно определенными и обладают непрерывными вторыми производными по t; М - знакоположительная постоянная матрица (чтобы гарантировать единственный минимум). Сформулированная задача есть задача Больца; материала § 15.3 вполне достаточно для того, чтобы решить поставленную задачу.

Выполним те же операции, что и в примере 15.1. Уравнение Беллмана имеет вид

х (t) Q (О x{t) + и* (О R (t) * (О +

+ {-yiA{t)x + B{t)u*)]. (15.41)

Граничное условие, вытекаюптее из уравнений (15.25) и (15.28в), сводится к

Umf*{x,t) = -xit2)Mx{t. Процесс минимизации приводит к условию

где L - подынтегральное выражение в уравнении (15.40). Из последнего условия следует

и*(0 = -/?-Ч05Ч0(-£)-

(15.42)

(15.43)

(15.44)



Если хотим синтезировать линейное управление как функцию координат, то следует в качестве критерия качества /* принять квадратичную форму

nx,t) = ~xP{t)x, (15.45)

где Р (t) - симметричная матрица размерности п X п.

Подставив выражения (15.44) и (15.45) в уравнение Беллмана (15.41), получим матричное уравнение Риккати

- Т- = - (О it) В (t) P{t) + P ф A{t) + A (t) P (t) +

+ Qit) (15.46)

с граничным условием

P{h) = M. (15.47)

Матрицу P (t) теоретически можно найти, интегрируя уравнение (15.46) в обратном времени с начальным условием (15.47). После нахождения матрицы Р (t), так как она симметрична, с помощью выражений (15.44) и (15.45) получим

u4x.t) = - R-{t)B(t)P{t)x{t). . (15.48)

Таким образом, единственный абсолютный минимум функционала (15.40) получается только в том случае, если матричное уравнение Риккати имеет одно решение. В отношении последнего Калман доказал следующую теорему

Теорема 15.1 [96]. В соответствии с предположениями, принятыми в данном параграфе, уравнение (15.46) с граничным условием (15.47) имеет единственное решение для матрицы Р (t), при этом управление (15.48) является оптимальным по отношению к критерию оптимальности (15.45).

Другими словами, уравнение Беллмана (15.41) обеспечивает для этого случая достаточное условие оптимальности.

ПолучёЦные в данном параграфе результаты могут быть с успехом использованы при расчете контуров наведения с малыми возмущениями, например, при выводе на орбиту искусственного спутника. В подобных задачах ракета-носитель должна следовать по номинальной траектории. Но из-за нестационарности параметров ракеты-носителя она не следует точно по номинальной траектории. Для коррекции небольших отклонений относительно заданной траектории можно, например, линеаризовать динамику ракеты-носителя относительно заданной траектории. После этого, если выбран критерий оптимизации типа (15.40)), можно приступить к расчету в соответствии с методикой, изложенной в данном параграфе.

Пример 15.2 3). Динамику линеаризованного контура наведения ракеты можно выразить в форме

. 1

1 - х,; - Хз> Xg - и,

где х, - боковое отклонение от номинальной траектории ; х, - скорость этого отклонения; Хз - угол направления вектора тяги.

1) Доказательство этой теоремы станет очевидным в § 15.7.

) Необходимость использовать критерий (15.40) возникает в тех случаях, когда требуется существование второй вариации от заданного функционала. Более подробно этот вопрос освещен в следующих главах.

8) Этот пример предоставили X. Хеффёс, Дж. М. Хольцман и С. Хоринг, сотрудники фирмы Белл Телефон. В проведенном ими исследовании учигьшалось влияние шума.



Зависимость между боковой тягой и боковым ускорением нестационарна и определяется коэффициентом k,l(k2 - t), который учитьшает потерю массы при действии тяги. Интегрируемая связь между к и представляет собой линеаризованное уравнение привода.

Если исходить из предположения о возможности точного измерения х, (t), х (О и х (t), то можно разработать такую систему управления с обратной связью, чтобы обеспечить оптимальное наведение ракеты, удовлетворив при этом заданному показателю качества. Предположим, что используется функционал вида

/ = 4- f (х (т) <? (т) X (т) + т) dt.

где / = 10; Т = 250 сек, и

<?(0 =

(300 - tf

5-10-

10-3

и пусть начальные условия представляют собой х, (0) = 3000 футов (~915 м); х (0) = = 800 фут/сек (~244 м/сек) и Xg (0) = 12 мрад.

Тогда в принятой в данном параграфе системе обозначений имеем

О О .1.

нам необходимо решить матричное уравнение Риккати (15.46) с граничньм условием Р (Т) = 0.

Рассмотрим решение (15.48). Ввиду того, что гЬ= [0,0, Viol, используем лишь последнюю строку симметричной матрицы P(t) = [pcj (t)], (i, j = 1, 2, 3). В этом случае имеем и* (X, О = -/ю) [Pi3. Ргз. Paslxif). Однако вследствие матричного характера уравнения (15.46) можно легко показать, что необходимо решить следующие шесть связанных нелинейных дифференциальных уравнений с граничивши условиями в одной точке:

Ри(0 = 4тР?з(0-

0 ~

A(t) =

(300-0

Pi2 (О = -Q Pi3 (О Ргз (О - Pii it);

Pi3 = -Jq Pis (0 Рзз (0 - kZZJ

Р22 = -Рз(0-2р12(0-

10-3

(300-0

1 R

Раз = - jQ Ргз (t) Рзз (t) - Рга W - Pi3 (0;

Йаггз (300-0

Эту систему можно решить численно, двигаясь в обратном времени от f = Т z граничньм условием Р(Т)= 0. Функции р, (t), р.23 ((), Рзз (О изображены графически для k, = 9380 и 2 = 315 (рис. 15.2а). На графике также нанесена оптимальная траектория х* (t) (рис. 15.26) [см. упражнение 15.8).

Калман показал, что при Т оо для полностью управляемой линейной стационарной системы и показателя качества

[х (т) Qx (т) + (т) Ни {%)) dx.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.