ным образом, приходим к выводу, что упомянутый сигнал tt (f) совпадает с сигналом, необходимым для перевода системы за интервал = = из состояния Xq ~ Xs в начало. Таким образом, понятию управляемости линейной инвариантной во времени системы можно дать следующие эквивалентные определения.

Определение 3.2 (вариант А). Линейная инвариантная во времени система х = Ах + Ва полностью управляема, если эта система может быть переведена из состояния О в момент = О в конечное состояние х (ti) = х при помощи некоторого сигнала и (t), определенного на конечном интервале

Определение 3.2 (вариант Б). Линейная инвариантная во времени система х - Ах + Ви полностью управляема, если эта система может быть переведена из некоторого начального состояния лГо при = О в начало О при помощи некоторого сигнала и (i), определенного на конечном интервале

Достаточность сформулированного теоремой 3.4 условия управляемости системы с одним входным сигналом можно показать, основываясь на определении 3.2 (вариант А). Из этого определения вытекает, что существует сигнал и (t), через который состояние х в момент i> О может быть выражено формулой

Xi =

Ф (ь т) Ьи (т) dr = e (t-m (т) dr = t* e-bu (т) dx. (3.48)

Согласно теореме Келли-Гамильтона (см. приложение I) } е- * = aj{t)A<.

Следовательно, уравнение (3.48) можно записать в виде

(j п-\ /г-1 ft

Хг = е

2 а/(т)Л&ы(т) dxe 2 1 i{)u{x)dx\Ab. (3.49)

Поскольку выражение (3.49) должно быть справедливо для любого Хх, приходим к выводу, что векторы Ь, АЬ, АЬ, . . ., Л ~& (всего их п) должны быть линейно независимы (см. приложение I), так как в противном случае нельзя найти сигнал и (t), который удовлетворял бы уравнению (3.49). Но требование линейной независимости указанных п векторов сводится к тому, чтобы матрица К, использованная при формулировке теоремы 3.4, имела ранг п.

Для произвольной матрицы В типа пХг достаточность теоремы 3.4 может быть доказана аналогичным образом.

С понятием управляемости тесно связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость системы устанавливает, возможно ли определить значения переменных состояния системы, относящихся к прошлому, по результатам наблюдения за одним лишь выходным сигналом. Дадим определение этого понятия для линейных стационарных систем.

Определение 3.3. Линейная стационарная система, описываемая уравнениями X = Ах + Ви; у = Сх + Du, полностью наблюдаема, если возможно определить начальное состояние х (0) системы по следующим данным:

а) по матрицам Л и С; б) по выходному сигналу у (t) от начальных условий X (0) при и (t) = О, заданному на конечном интервале [О, Т].

Для записанной в канонической форме системы, имеющей один выходной сигнал

У = 11 CiXi,

необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является отличие от нуля всех коэффициентов c. Если записанная в канонической форме система имеет несколько выходных сигналов

y,- = CfiXi; 7=1.....т,

то необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является связь через ненулевой коэффициент каждой из переменных состояния по меньшей мере с одним из выходных сигналов, так что для каждого i (i = = 1, . . ., n) по меньшей мере один из коэффициентов с, Cg, . . ., ci не должен равняться нулю.

Наряду с теоремой 3.4 можно также сформулировать следующие результаты.

Теорема 3.5. Необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости линейной стационарной системы х = Ах Н- Ви; у = Сх + Du является то, чтобы матрица * 1С*[А*С*\ Л*С* . . -1 Л* ~C* ] типа пХпт имела ранг п.

Заканчивая рассмотрение понятий управляемости и наблюдаемости линейных стационарных объектов, заметим, что несмотря на приемлемость данные выше определения несколько искусственны. Это обусловливается тем, что определение управляемости связано с использованием матриц А и В, г наблюдаемости - матриц А я С. Однако ранее уже было показано, что для рассматриваемой системы эти матрицы не являются какими-либо уникальными. Поэтому одна и та же система одним инженером может быть отнесена к наблюдаемым, но не управляемым, а другим - к управляемым, но не наблюдаемым.

Пример 3.11. Рассмотрим записанную в канонической форме систему с одним вход-ньм и одним выходным сигналами, в которой имеет место сокращение нуля и полюса. Если переменные состояния выбрать в соответствии с выражениями (2.19), то один из коэффициентов Ci ь уравнении (2.20) обращается в нуль, и система ненаблюдаема. Если, однако, положить Xl = и, то система будет неуправляема. Но поскольку г/определяется теперь выра-

жением xi, то система оказывается наблюдаемой. (=1

Данный пример может привести к заключению, что анализ возможен лишь для систем, обладающих как свойством полной управляемости, так и свойством полной наблюдаемости. Это действительно очень часто имеет место, но не всегда. Для большинства встречающихся на практике систем выходной сигнал является единственной представляющей интерес величиной. Выходной сигнал непосредственно измеряется, и по нему судят о поведении системы. В данном случае исходные переменные состояния не всегда играют важную роль. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 10. В тех случаях, когда сигнал и (f) по амплитуде ограничен, понятие полной управляемости не означает действительную управляемость. Этот вопрос рассматривается в гл. 14.

А* обозначает матрицу, сопряженную по отношению к А (см. приложение I).

3.7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

До сих пор мы имели дело лишь с линейными стационарными системами, для которых многие результаты уже хорошо известны. Рассмотрим теперь, какие результаты существуют в отношении линейных систем, изменяющихся во времени (нестационарных). В частности, возможно ли для таких систем в любом случае найти переходную матрицу в замкнутой форме? К сожалению, ответ на этот вопрос отрицательный. Действительно, переходная матрица представляет собой не что иное, как более упорядоченную запись в области времени классических результатов, известных для дифференциальных уравнений. Если система линейных дифференциальных уравнений имеет классическое решение в замкнутой форме, то и переходная матрица выражается в замкнутой форме.

Рассмотрим несколько известных результатов. Имея в виду, что для линейной нестационарной системы первого порядка, рассмотренной в примере 3.6, переходная матрица Ф ( о) па 1X1 выражается как

/ t exp а

(T)dT

можно предположить, что в общем случае линейной нестационарной системы высокого порядка х = А Ц) х переходная матрица имеет вид

ФЦ, д = ехр Ил(т)йт

Несмо1)ря на ошибочность такого предположения в общем случае, оно оказывается иногда правильным. Это предположение справедливо (кроме рассмотренного ранее варианта, когда А (t) не зависит от t) еще и тогда [35], когда матрица А (t) коммутативна с матрицей

А (т) dx.

т. е.

J(T)

A(t)A (t)

t

J A (T) dx

для всех to и t.

(3.50)

Отметим, что соотношение (3.50) выполняется, когда матрица А (t) диагональная *.

Справедливо следующее утверждение, не имеющее, вообще говоря, большого практического интереса: в общем случае линейной нестационарной системы переходная матрица может быть получена методом итераций, сводящимся к повторному интегрированию, в виде бесконечного ряда, называемого рядом Неймана (см. упражнение 3.5).

Переходная матрица в замкнутом виде может быть найдена для большинства линейных нестационарных систем, интегрируемых классическими методами. Рассмотрим в связи с этим пример.

* К другому специальному варианту, описываемому выражением (3.50) относится случай, когда матрица А (О такова, что А {ti) А (t) - А (tS А {ti) для всех tvi - см. [106 ].