критерия дана в работе [174]. Без доказательства критерий сформулирован и в работе [208]. Позднейшие исследования в этом направлении приведены в работах [177] и [207].

Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики использовались в работах [142], [144], [145] и [146]. В работе [145] критерий Попова используется для анализа степени устойчивости (см. § 10.5 настоящей главы).

В работах [27], [43] и [204] критерий Попова распространяется на случай, когда нелинейная характеристика определяется условием

Другие подходы к анализу устойчивости, основанные на частотном критерии, рассмотрены в работах [148] и [165].

ГЛАВА 11

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

В предыдущих главах в основном мы имели дело [ с устойчивостью систем управления без действия входных сигналов, хотя и стремились показать, что для систем с полностью известными входными сигналами можно говорить об устойчивости системы. Теперь мы рассмотрим некоторые результаты для систем с входными сигналами.

Требование минимальной устойчивости для управляемой системы за- ключается в том, что выходной сигнал системы ограничен, если ограничены входной сигнал и начальные условия. Такой вид устойчивости называется устойчивостью при ограниченных входном и выходном сигналах и имеет несколько разновидностей.

Простейшим типом устойчивости системы управления при ограниченных входных и выходных сигналах является устойчивость в малом. В русской литературе она известна как практическая устойчивость *. Это аналог устойчивости по Ляпунову для систем без входных сигналов. Для практических целей этот вид устойчивости вряд ли полезен, так как неизвестны максимальные границы для входного сигнала и начальных условий, в которых гарантируется ограниченность выходного сигнала. Более перспективной является устойчивость при ограниченных входном и выходном сигналах в целом, когда вне зависимости от того, ограничены ли вход и начальные условия, гарантируется, что выход ограничен. Теоремы, охватывающие этот вид устойчивости, существуют только для линейных (хотя и нестационарных) систем и нелинейных систем, изучаемых в теории Попова.

Эффективным математическим средством для анализа устойчивости систем управления при ограниченных входном и выходном сигналах является теория неравенств. Математический аппарат неравенств использовался в некоторой степени и в предыдущей главе книги, а также в приложении П1. В настоящей главе вводится новое неравенство - неравенство Беллмана-Гренвилла и применяются другие аналитические методы, использующие неравенства и теорему о неподвижной точке сжатого отображения, что позволяет развить итерационный метод исследования систем с входными сигналами, используя эквивалентные передаточные функции.

* Применяемый авторами книги термин общая устойчивость в русской литературе отсутствует. Его применение в английской литературе, по-видимому, объясняется неточностью перевода на английский язык статьи Малкина И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях . Прикл. матем. и механ. , т. VHI, № 3, 1944, где рассматривается устойчивость при постоянно действующих возмущениях, представляющая собой непосредственное обобщение устойчивости по Ляпунову и имеющая наибольшее практическое значение [252]. В дальнейшем И. Г. Малкин именует данный вид устойчивости не как общую , а как практическую устойчивость. См. [253] (Прим. ред.).

Практическое значение свойства устойчивости при ограниченных входном и выходном сигналах не следует преувеличивать. Тот факт, что выход ограничен, когда ограничен вход, дает инженеру мало информации. Выходная величина физически,не может стать бесконечной, но она может быть излишне большой. Во многих случаях выполнение этого вида устойчивости недостаточно; обычно требуется точное знание выходного сигнала.

До сих пор математический аппарат неравенств оставляет желать много лучшего при инженерной оценке поведения реальных систем. Следовательно, применяя эти методы к реальным системам, необходимо проявлять постоянную осмотрительность.

11.1. ЛЕММА БЕЛЛМАНА-ГРЕН ВИЛЛА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ

В гл. 10 был сделан вывод о том, что при исследовании устойчивости и ограниченности решений динамической системы часто удобно наложить некоторые ограничения, которые позволяют превратить интегральное уравнение в интегральное неравенство. Важное правило при работе с интегральными неравенствами, которые верны для нелинейных систем .управления с обратной связью и линейной частью, дает следующая известная лемма.

Лемма 11.1 (обобщенная лемма Беллмана-Гренвилла) *

Пусть V (t) и W (t) - действительные функции от / и да (f) действительная постоянная. Если

v{t)c-\- да(г)у(г)г, о

v{t)c ехр

О, а с

(11.1а)

(11.16)

Лемма легко доказывается. Введем две функции х (t) и z (t) такие, что

x{t) = c -\- w{x)v (х)dx;

(11.2)

v{i)=x (О - Z (f).

(11.3)

Если неравенство (11.1а) выполняется, то z (t) 0. Более того, функция X (f) является непрерывной. Дифференцируя х {f) и используя уравнение (11.3), получим

X (О = да (О x{t) - W (t) z (t).

(11.4)

* См. работу [102]. В первоначальной формулировке леммы (см. работу [14]) требовалось, чтобы V (t) О (в настоящей формулировке оно опущено). Лемму 11.1 можно сформулировать в более общей форме. См., например, работы [67] и [179].