будут линейно зависимыми, так что мы можем найти систему из п ненулевых постоянных, удовлеторяющую соотношению

liCiyiit to) = 0. Поскольку мы имеем дело с линейной системой у = Ау, можно согласно

принципу суперпозиции считать вектор суг {t, to) и вектор - S с,-,- (t, to)

двумя решениями, принимающими при/ = t одинаковые значения. Согласно теореме о единственности это возможно лишь, если оба вектора идентичны при всех t. Это также означает

S Ciyi (to, to) = 0,

что при ненулевых Ci невозможно в силу исходного предположения о свойстве вектора у (to, to). Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.3. На любом интервале времени, где матрица А (t) интегрируема в смысле Римана, переходная матрица, удовлетворяющая уравнению (3.10), не особая.

Если условия теоремы 3.3 выполнены, то Ф (t, to) существует.

Из уравнения (3.16) следует, что свободные колебания х (t), соответствующие начальным условиям х (to), определяются выражением

x(t) = Ф(t, to)x(to). (3.17)

Следовательно, переходная матрица Ф (t, to) переводит свободную систему из начальной точки х (to) в точку х (t) траектории свободной системы, соответствующую моменту t.

Из уравнения (ЗЛ7) вытекают дальнейшие свойства переходной .матрицы. В силу единственности решения х (t) можно записать

JC аг) = Ф (1 о) X (to) и X (t,) = Ф (t t,) X (td, (3.18)

и, следовательно, для любых to, t, t

ФЦ to) = Ф(t tг)Ф(t to). - (3.19)

Из уравнения (3.19) с учетом того, что Ф (to, tg) = /, имеем

Ф (to, to) - Ф (0, t) Ф (t, to) = I; (3.20)

отсюда .

ф-(to, t) = Ф(t, to). . (3.21)

Учитывая (3.19), можно выражение (3.16) переписать в другом виде:

x{t) = Ф (t, to) X (to) + 1 Ф ( i) В () tt (t) dt. (3.22)

Если имеется лишь один входной сигнал и (t), то можно уравнение (3.22) записать в следующей развернутой форме:

(t) = S о) Xj (to) + J 2 Ф,; (t, t,) bj (t,) и (t,) dt (3.23)

/=1 to J=l

где - элемент матрицы Ф в г-й строке и /-м столбце; bj - /-я компонента вектора Ь.

Пусть все начальные условия нулевые, т. е. Xj (t =0 для всех /. Пусть далее в момент т к системе прикладывается единичный импульс. Если р. о (О * - единичный импульс, то

t п п

Ч (0 = 12 (i) - ) = S ( ) () ( о)- (3.24)

и 1=1 У=1

Выражение (3.24) характеризует реакцию по г-й переменной состояния на импульс, прикладываемый в момент т. Таким образом, можно заключить, что между переходной матрицей и импульсной переходной функцией системы существует тесная связь.

3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

Для линейных станционарных систем переходная матрица в большинстве случаев легко может быть найдена. В данном случае уравнение (3.10) принимает вид

do (i, io)

= лФ(,д; Ф(о,д = /,

(3.25)

где А - постоянная матрица.

Для линейной стационарной системы первого порядка имеем

0{t, g = exp

j adr

Это выражение дает повод искать решение системы уравнений в аналогичной форме, т. е. в виде экспоненциальной функции от матрицы А.

Определим экспоненциальную функцию матрицы А и истекшего времени t - to следующим выражением:

(3.26)

>

Если далее определить производную от матрицы как матрицу производных от ее элементов, то станет ясно, что при

Ф(, g=e(-w (3.27)

уравнение (3.25) удовлетворяется тождественно.

Следовательно, для случая стационарной системы общее решение (3.22) сводится к виду

x{t) = e-t)x{to) +\et~t>B{ti)u(ti)dti, (3.28)

* Ло (f) обладает следующими свойствами: Ло (t) s О при i=0 и f {tj) Ло (t -t) dti=

= f (t) для всех t и для функции f (f).

а при отсутствии внешнего воздействия и (t), т. е. для автономной системы, решение принимает вид

jc(f) = e -c)jc(g. (3.29)

Однако мы пока не дали выражения е -o) в замкнутой форме. Чтобы сделать это, мы должны найти элементы Oii(-о). Ф12 (--о). -матрицы

Выражение (3.26) показывает, что теоретически Ф (t.- t) можно определить при помощи бесконечного матричного ряда вида

A(t-to)

Однако в общем случае такой путь практически мало пригоден. Для частных случаев существуют более удобные методы. Рассмотрим некоторые из них.

, 1. Матрица А - диагональная. Это, например, имеет место, когда система м-го порядка состоит из п не связанных одна с другой систем первого порядка или когда при простых полюсах G (р) используется разложение на простые дроби, как это было описано в гл. 2. В данном случае Л = Л, где Л - диагональная матрица, элементами которой служат собственные значения (или полюсы функции G (р)). Для этой матрицы можно записать

О к

и, непосредственно используя выражение (3.26), получим

(<-<о)

Этот результат достаточно ясен, если перейти к системе несвязанных дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Собственные значения матрицы Л различны, но Л - не диагональная. Случай 1 наводит на мысль, что когда Л не диагональная, мы должны стараться найти постоянную матрицы Р, которая преобразует матрицу Л в диагональную Л, т. е. Л = Р АР (см. приложение I). Отсюда РАр- = = Л, и поскольку Л = РАР-, имеем