Если G (s) и Yq (s) не имеют особенностей при s = О, то lim s Yq (s) = 0.

В этом случае из выражения (8.41) можно получить

Fo (s) = lim t/i (s) G (s) (8.426)

Можно предполагать, что среднее значение Yq выходного сигнала у (t) тсвязано со значением входного сигнала г (t) тем же соотношением. В действительности связь средних значений выходного и входного сигналов может быть установлена с учетом предельного цикла колебаний по формуле (8.13) и определяется параметром ос для реле без зоны нечувствительности и параметрами ос, pj, р2 для реле с зоной нечувствительности. При г (t) = О среднее значение сигнала на выходе равно нулю, т. е. Yq = О, что видно из выражения (8.19) и с учетом симметричности колебаний (< = Pi)-

Прежде чем закончить этот параграф, следует указать, что если Y (s) целая функция*, которая получена путем надлежащего подбора начальных условий, исключающего все сомножители, содержащие особые точки [91 ], то

1 О при остальных значениях t.

В этом заключается основа метода целых функций, который дает иной подход для анализа колебаний в релейных системах. Этот метод имеет то преимущество, что при его использовании не нужно обращаться к модифицированному z-преобразованию. Однако необходимо обращать внимание на выбор начальных условий, дающих целую функцию. При применении модифицированного г-преобразования с опережением существенны лишь те начальные условия, которые уничтожают члены, соответствующие полюсам функции G (s) в области Re s > 0.

8.4. МЕТОД ЦЫПКИНА ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Среди всех методов, которые могут быть использованы для исследования периодических колебаний в релейных системах управления, основными, по-видимому, являются методы Цыпкина [191] и Хамела [59]. Здесь главное внимание обращается на метод Цыпкина, который позволяет получить оценку степени приближения при применении эквивалентной передаточной функции. Для знакомства с методом Хамела и его связи с методом Цыпкина отсылаем читателя к книге Жилля, Пелегрена и Декольна [59].

В методе Цыпкина используется только одно условие переключения (8.13), обеспечивающее существование периодического режима работы. Условия переключения определяют характеристики сигнала (период Т и параметры предельного цикла а, pj и pg), необходимые для периодического режима работы системы. Следует также отметить, что при соблюдении условия переключения (8.13), как правило, соблюдаются и условия непрерывности (8.14). Если возникает сомнение, то необходимо с помощью хорошо известных линейных методов построить реакцию у (t) и проверить условия непрерывности.

Ограничим рассмотрение метода Цыпкина только в части определения периодических колебаний. Более того, здесь будут рассматриваться только

симметричные колебания, когда ос = и Рг = -ft + Pi- В предыдущем

* Под целой функцией понимается функция комплексного переменного аналитическая на всей плоскости s.

лараграфе было установлено, что это действительно так, если передаточная функция G (s) имеет полюс в точке s = О или если входной сигнал г (t) = 0. В дальнейшем будем считать, что выполняется последнее условие. Такое допущение не должно вызывать сомнений в общности получаемых результатов, так как если G (s) имеет полюс при s = О и г (t) = R, то на основании предыдущего параграфа этой главы можно считать, что периодический выходной сигнал г/ (f) будет иметь постоянную составляющую Yq, равную R. Таким образом, условия переключения (8.13) не зависят от величины R.

Для симметричных колебаний, когда ос =-, Рг = -у Pi У i) - -е (t), условия переключения (8.13) для реле без зоны нечувствительности .приобретают вид

для реле с зоной нечувствительности

CD 2jx где у = 2pi и (Oq = --круговая частота автоколебаний. При симметричных колебаниях остальные соотношения в условиях переключения (8.13) являются лишними.

Основное достоинство метода Цыпкина заключается в том, что условия переключения

(8.43) находятся с использованием частотной характеристики G (/со) объекта управления. Для этого строится годограф некоторой функции комплексного переменного, называемый годографом Цыпкина. Если для некоторой системы эта кривая построена, то существование периодического решения определяется достаточно быстро, поскольку представление условий (8.43) в графической форме с помощью годографа Цыпкина является весьма наглядным.

Рассмотрим систему управления, включающую реле без зоны нечувствительности. Для анализа Я. 3. Цыпкин предложил ввести следующую функцию:

iN = -i ()-/>n(); (8.44)

эта функция называется функцией Цыпкина. Она определена для всех круговых частот со, и ее годограф на комплексной плоскости называется годографом Цыпкина.

Если coq - частота автоколебаний системы, то условия переключения (8.43), выраженные через функцию J (со), можно представить в виде

Re J (соо) <0; 1ш J (соо) == -е; (8.45)

это непосредственно следует из выражения (8.43 а). После построения графика J (со) как функции от со на комплексной плоскости можно определить частоту автоколебаний из простого геометрического построения. Такое построение показано на рис. 8.6.

Круговая частота со является единственным неизвестным, которое не-

обходимо определить. Для этого построим J (со) как функцию со = ~.

J(uj) - годограф

Рис. 8.6. Типовой годограф Цыпкина [выражение (8.44) ] для системы управления с реле, имеющим гистерезис (рис. 8.2, а), и построение линии - е для нахождения основной частоты автоколебаний

Прежде всего разложим у (t) в ряд Фурье. В случае симметричных колебаний, когда г (fj = О, Fo = О и ос =-, из выражений (8.19а) и (8.40) найдем, что

2 (1-в-/-)2в/-.

Поскольку

П=-оо

f 4; ±п = 1, 3,5,...; (1 в-,л.)2 ±п = 0,2,4,

G[/(0(2 -l)]

/ш (2 - 1)

0[-/(0(2я-1)] ,2n i) i /co(2n--l)

y.{t) = f/ 2 {g [/CO (2n - 1)] e/ + G [-/CO (2n - 1)] (-D

Для аналитической функции комплексного переменного справедливо следующее утверждение: функция комплексного аргумента, сопряженного данному, равна функции, сопряженной данной*. Используя указанное свойство к приведенным выше уравнениям, получим

G[/(0(2n-l)] . ,2n-i) t

2n-1

(t)=~oyRe {g [/CO (2n - 1)] e/ (-D }.

В частности

М \ - 4t/ V . G[/(o(2n-l)] .

= ReG[/co(2n-l)].

n=l

(8.46)

(8.47)

Таким образом, функция Цыпкина J (со), определенная выражением (8.44), становится

H = {ReG[/(2n-l)co] + /

; ImG [/(2n- l)(o]

2n- 1

(8.48)

* При условии, что аналитическая функция принимает действительное значение для действительных аргументов. Эти условия выполняются-для правых частей приведенных соотношений, т. е. для Уп (f) и уп {().