Для многих переменных условие Вейерштрасса для сильного локального минимума задается в виде

Е (X*, X*, JC,t) = L (X*, x,t)~L (л-*, л:*, /) -

- (X -x*f (.л;*, X*, 00. (13.33)

- ОХ

в заключение необходимо упомянуть об условиях, которые следует выполнить для того, чтобы б/ в выражении (13.24) была положительна или равна 0. Эти достаточные условия обычно называют условиями Якоби. Ввиду того, что формулировка и вывод этих условий 1> потребовали бы некоторых более сложных понятий и громоздких выкладок, их мы рассматривать не будем.

5. Случай неопределенности или вариация граничных точек

Допустим, что при нескольких переменных ряд граничных условий Xi {t не определен, тогда изложенный ранее способ оптимизации должен быть как-то изменен

Следуя материалу § 2 згой главы, рассмотрим вариации (t) = = Xi (t) + erii (t), когда граничные значения Xi (t) не заданы; ясно, что условие r\i (tj) = О остается, а условие т] (/g) = О не выполняется.

Однако каково бы ни было граничное условие т] (t), уравнение (13.8) тем не менее должно выполняться. Это по-прежнему приводит к необходимым условиям, заданным выражением (13.16). Отметим, что теперь и первый член в левой части выражения (13.16) имеет определенное значение.

Как и прежде, выбор т],- (t) произвольный, и поэтому первый и второй члены левой части выражения (13.16) в отдельности должны стремиться к нулю. Малость значения второго выражения, как и прежде, приведет к уравнениям Эйлера-Лагранжа вида (13.17), а первый член для рассматриваемых вариаций с незаданным условием в точке приведет к так называемым условиям трансверсальности:

=0 (13.34)

dXi t=.t

(для тех траекторий Х[ (t), у которых граничные точки Xi {t не заданы).

Если граничная точка не произвольная и она должна лежать на некоторой кривой или гиперповерхности, то условиятрансверсальности становятся более сложными. Рассмотрим.простейшую задачу вариационного исчисления, изложенную в § 2 этой главы. Предположим, что оптимальная траектория теперь найдена такой, что ее граничная точка при t, лежит на кривой

Р {X it,), t) = 0;

Величина t, вообще говоря, заранее точно не известна, но сейчас она полностью определена.

Заметим, что все необходимые условия, выведенные для случая закрепленной граничной точки, здесь таюке должны выполняться. Это связано с тем, что оптимальная траектория для случая нестационарной граничной точки должна быть оптимальной траекторией и для соответствующей задачи с закрепленной граничной точкой, если выбрать в качестве последней решение задачи с незакрепленным концом.

1 См., например, работу [5П-

Точка X (г) иногда упоминается в литературе как правая граничная точка, а точка х (г) иногда называется левой граничной точкой.

Для того чтобы вывести условие трансверсальности, допустим вариации 64, бх (t) и 8х (f) *. Оценим при этом изменение показателя качества Д/:

А/= I L(, лг + бх, х + бх) Л -JL(/, х, x)d/ =

- = f L(t,x-{-bx,x-\-8x)dt-}-\[L{t,x-\-8x,x-\-bx} - L(t,x,x)]dt.

Ограничиваясь членами первого порядка малости, перепишем

ex .

Интеграл I -r- 6x) можно взять по частям, как это было сделано

при выводе выражения (13.10). В результате получим

8х --- 8х dt = ОХ

дх I дх

<2

= I+J(

* ах

Так как уравнение Эйлера-Лагранжа должно удовлетворяться вдоль оптимальной траектории, подынтегральная функция правой части указанного выше выражения будет тождественно равна 0. Кроме того, бх = О при t = ti, и, следовательно.

L6L,

dL -г- 8х

t=ti

Теперь следует установить связь между вариациями 62 и 8x\t=t. Пусть фактическое изменение х в граничной точке обозначается 62, тогда

62 < 8x\t=t + X (t) 62

L - X

dL \

dx I

+ t=.t, dx

8xn.

t=ti

Так как 62 и 8x2 -* О, то Af -> 8f, и указанное выше приближенное выражение становится равенством. Поскольку условие минимума есть 8f - = О, получаем соотношение

Ij dL\

\ idx j

bt+f-

t=t, dx

6X2 = 0,

(13.35)

которое остается лишь сопоставить с граничным условием р [х {t), tl =0. Следовательно, 62 и 6x2 не могут быть выбраны произвольно, а должны бьп ь такие, чтобы выполнялось уравнение

6X2+ #-6/2=0.

дх---- dt2--~- - (13.36)

уравнения (13.35) и (13.36) совместно составляют требуемые условия тр ансверсал ьности.

* Заметим, что в отличие от предыдущих случаев здесь мы допускаем также вариацию Ы-

6. Ограничения типа равенств и множители Лагранжа

Для определения экстремума функционала (13.13) с дополнительными ограничениями типа равенств

U, (t), (t); Xy{t), . .., х (01 = О, (13.37)

k = I, . , ., т и т <i л,

где функции дважды дифференцируемы, снова можно использовать множители Лагранжа. Как всегда, при введении т переменных Лагранжа, которые являются функциями от t, ijji (0 > Чт (0> задачу нахождения минимизирующего решения для функционала (13.13) с ограничениями (13.37) можно рассматривать как задачу минимизации функционала вида

<2 / т \

без учета ограничений.

Если минимизирующая траектория удовлетворяет требуемым граничным условиям, то функционал fy не зависит от переменных Лагранжа, и, следовательно, в выражении для первой вариации функционала коэффициент при каждом множителе яр равен нулю, и поэтому стационарное значение функционала соответствует стационарному значению функционала f. В этом и заключается идея метода множителей Лагранжа, который сформулируем в виде теоремы

Теорема 13.1. (Правило множителей Лагранжа). Рассмотрим задачу минимизации функционала (13.13) с т ограничениями вида (13.37). Для каждой кусочно-гладкой ) минимизирующей траектории x*{t) существуют константа с и функции ipi (t), . . т (0. не равные тождественно нулю, такие, что уравнения Эйлера - Лагранжа (13.17), условие Лежандра (стр. 366) и условие Вейерштрасса (13.33) выполняются в каждой точке (исключая точки излома) траектории х* (t) при условии, что в качестве функции L рассматривается функция

Li = cL -f S %ФА-

Теорема 13.1 позволяет свести задачу минимизации функционала с ограничениями к задаче минимизации некоторого другого функционала без ограничений.

Так как в большинстве практических задач с ф О, то всегда можно считать, что с = 1

Покажем, как можно воспользоваться результатами теоремы 13.1. Сначала

fz

рассмотрим случай, когда минимизируется функционал f = L {х, х, f) dt

с ограничением ф {х, х, t) = 0. Согласно выражению (13.9) имеем

i-f 4V = 0. (13.38)

дх 1

1) Более строгое доказательство теоремы см, в работе [138]. Доказательство метода множителей Лагранжа можно извлечь из доказательства принципа максимума.

) Кусочно-гладкой является кривая, которая имеет кусочно-непрерывную производную. 3) См. § 16.1.