3.7. Для линейной системы

; у = 4 +и

получите:

а) передаточную функцию G (s), связывающую входной и и выходной сигналы;

б) уравнения состояния в канонической форме, используя переменные состояния х;

в) уравнения состояния в нормальной форме, используя переменные состояния у, у, кроме этого, для исходных (г, г), канонических (х, и нормальных (у-, у переменных состояния исследуйте полную управляемость в отношении входного сигнала и н полную наблюдаемость в отношении выходного сигнала у.

3.8. Для линейной системы, описываемой уравнением

0 0 о 1 -1 о о -2 -2

и; у= [О, 1. 1]

найдите:

а) переходную матрицу Ф (t, to);

б) импульсную переходную функцию g {f) по выходному сигналу у в отношении входного сигнала и;

в) переходный процесс у (t) от начальных условий (при нулевом входном сигнале).

Рис. 3.5. Структурная схема системы, рассматриваемой в упражнении 3.10

Кроме этого, определите, является ли система полностью управляемой в отношении входного сигнала и и полностью наблюдаемой в отношении выходного сигнала у.

3.9. Каждая из функций fi (х), . . ., /4 (л:) удовлетворяет условиям f (х) = 1 при х 1 и / (л:) = -1 при x<i -1. В интервале -1 л: sg 1 функции различны и выражаются соот-

ветственно (л:) = х; (х) = 0; fc (х) = з; (х) = arcsin х.

Установите, удовлетворяются ли для каждой из функций условия Липшица в большом. В случае удовлетворения этих условий найдите постоянную Липшица.

3.10. Для системы, показанной на рис. 3.5, найдите переходную матрицу Ф (t, to). Постройте кривую х (t) для случая, когда и (t) - единичный импульс. Проделайте это для различных значений to, где to - время приложения импульса.

3.11. Покажите, что для любой постоянной квадратной матрицы А имеет место Ле* = = еА.

3.12. Для системы, изображенной на рис. 2.16, найдите переходную матрицу е для ая, когда нелинейная функция и (t) = f

ления k, т. е. и (t) = fee (t).

случая, когда нелинейная функция и {t) = f (е (Q) заменена постоянным коэффициентом уси-

Найдите реакцию системы в следующих случаях:

а) п (t) = О, / (t) - единичная ступенчатая функция;

б) г (t) = О, п (t) - единичный импульс;

в) г {() - импульс при = О, а п (Q - импульс при t= 0.

3.13. Докажите, что в случае постоянной матрицы А типа пХ п каждый элемент матрицы Ф (s) = {si- А) представляет собой рациональную функцию s, знаменатель которой имеет степень п, а числитель - степень, всегда меньшую п (см. приложение I).

3.14. Пусть для системы, описываемой уравнением tx+ 4tx+ 2х= и {t), х {t, to) - импульсная переходная функция для t to, где и {t) - импульс, прикладываемый в момент to.

Рассчитайте н постройте кривые х {t, 0); х {t, 2); х {t, 4); х {t, 6) как функции t.

Из кривых по пункту а) получите и постройте кривые х (2, о); х (3, о) как функции to.

3.15. Проверьте, что выражения (3.63) и (3.65) удовлетворяют уравнению (3.62). Докажите справедливость формулы (3.66).

3.16. Для каждой из приводимых ниже линейных систем найдите переходную матрицу и определите реакцию у (t) на единичный импульс по и {f), а также установите, является ли система управляемой, а выходной сигнал наблюдаемым:

а) jci = -Xi - 1С, х2 = xi+ и; у х,

б) х = и; Xz = -Xi - х, у= Xi + х;

в) Xi = -3xi + 5и; .\ = -8ii - бх; У = Xi+ х;,

г) Хх - -bxi - 8к; хг = Ъх + Ъх + Ъи; у = Xg-

3.17. Покажите, что для линейного стационарного объекта jc = Ах + Ви матричная передаточная функция Н (s), определяемая выражением (3.44), инвариантна в отношении выбора переменных состояния.

3.18. Сформулируйте условия, при которых матричная передаточная функция Н (s), даваемая выражением (3.44), однозначно определяет матрицы Д и В системы, записанной Б нормальной форме.

3.19. Для ракеты в примере 3.5 исследуйте полную управляемость в следующих переменных состояния:

а) переменные состояния (6, ю, а);

в) нормальные переменные состояния {aj, а;, Ofj);

с) канонические переменные состояния.

Исследуйте полную наблюдаемость выходного сигнала Ofj (t) в каждом из указанных выше случаев (за входной сигнал во всех случаях принимается б (t)).

3.12. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Работы [38], [151], [182], [188] и [206] продолжают оставаться лучшими руководствами по материалу, рассмотренному в этой главе. Можно также рекомендовать монографии [78]-гл. 1 и 2 и [184]-гл. 1-4. Кроме того, полезным руководством по общим математическим вопросам теории линейных систем, включая методы исследования во временной и частотной областях, является работа [102].

ГЛАВА 4 .

СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

Существует несколько причин, в силу которых изучение фазового пространства двух измерений, или фазовой плоскости, является необходимым. Одно из основных достоинств фазовой плоскости - ее наглядность. Кроме того, многие практически важные и достаточно сложные динамические системы можно сравнительно точно аппроксимировать системами второго порядка и в дальнейшем анализировать поведение последних на фазовой плоскости. Фазовая плоскость широко использовалась уже в конце прошлого столетия в работах по классической механике, и в частности, в работах А. Пуанкаре *.

Как и всякий метод, метод фазовой плоскости имеет ограниченный диапазон применения. Наиболее существенное ограничение заключается в том, что указанный метод неприемлем для анализа систем, которые не удается свести к системам второго порядка **. Второе важное ограничение-это возможность достаточно просто анализировать лишь поведение автономных стационарных систем. Если же входное воздействие не равно нулю или система нестационарна, то траектории пересекаются и зависят от большого числа параметров, поэтому не удается получить не только количественного, но и качественного описания динамики системы ***.

* Работой А. Пуанкаре (Poincare А. Les Methodes Nouv.elles de la Mecanigue Celeste, Vols I u. II, Paris, Gauthier - Villars, 1892-1893 и в особенности работой LeauteM. Н. Memoire sur les Oscillations a Longues periodes dans les machines actionnees pur des Moteures Hydzauli-ques et sur les Moyens de Preveniz ces Oscillations. Journ de Recole Polytech, 1885.) были заложены теоретические основы метода фазовой плоскости. Однако их широкое практическое применение в автоматике началось после работ А. А. Андронова и его учеников, существенно развивших этот метод. См., например, 1) А н д р о н о в А. А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний. Доклады VI съезда русских физиков , 1928, стр. 23-24. 2) А н д р о -ИОВ А. А., X а и к и н С. Э. Теория колебаний. Ч. 1, ОНТИ, М.-Л., 1937 или А н д р о -нов А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний, 2-е изд. переработ..и доп. Н. А. Железцовым. М., Физматгиз, 1959. 3) А н д р о н о в А. А. Собрание трудов. М., изд. АН СССР, 1956 {Прим. ред.).

** В настоящее время существует целый ряд методов, позволяющих анализировать системы Б фазовом пространстве (например, метод сечения пространства параметров подвижной фазовой плоскостью, разработанный Р. А. Нелепиньш). См.: 1) Н е л е п и н Р. А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Изд-во Судостроение , Л., 1967. 2) Нелинейные системы автоматического управления. Под общ. ред. Е. П. П о -нова. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М., Машиностроение , 1970 {Прим. ред.).

*** Однако следуег отметить, что анализ на фазовой плоскости достаточно прост и в том случае, когда стационарная система второго порядка возбуждается входным сигналом типа единичного скачка или функции, изменяющейся по линейному закону. Тогда с помощью метода фазовой плоскости удается анализировать и простейшие нестационарные системы.