10.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СДВИГА НУЛЕЙ

Напомним, что основная цель преобразования, связанного со сдвигом полюсов, заключалась в том, чтобы сделать линейную часть преобразованной системы устойчивой и применить теорему 10.1. Основная цель предлагаемого преобразования заключается в таком видоизменении сектора (и/е) £ (а, Ь) для нелинейного элемента, при котором свойство устойчивости линейной части не наругйается. Сдвиг нулей определяется следующим преобразованием:

е, it) = е (/) + си it). , (10.38а)

Eo(t)

u(fM;[eJt),tJ

u(t)

Gc(p)=G(p)-C

a) в)

Рис. 10.16. Иллюстрации к способу сдвига полюсов:

а-влияние преобразования на характеристику нелинейного элемента; б-исходная структурная схема системы; во реакция на начальные условия линейного элемента; г (О-входной сигнал; в-преобразованная структурная схема системы

Из этого Преобразования следует, что новая передаточная функция и реакция на начальные условия равны

(Р) = G{p)-c (t) = eg (t).

(10.386) (10.38в)

Введенное преобразование иллюстрируется рис. 10.16, а; при этом структурная схема исходной системы (рис. 10.16, б) преобразуется-в структурную схему (рис. 10.16, е). Реакция на начальные условия в преобразованной системе та же, что и в исходной. Передаточная функция преобразованной системы определяется из передаточной функциг исходной за вычетом постоянной с. Если G (р) - рациональная функция переменной р, то (р) имеет те же полюсы, но другие нули, откуда и следует название преобразования - сдвиг нулей. Отметим, что при таком преобразовании сигнал управления и (t) остается неизменным, в то время как сигнал е (t) изменяется.

Предлагаем читателю показать, что в результате преобразования (10.38а) сектор (и/е) 6 [а, 6 ] переходит в сектор

+ с

I l+ac 1 + 6с .

Из соотношения (10.386) следует, что даже если исходный линейный элемент имел устойчивый выход, то преобразованный не будет характеризо-

ваться устойчивым выходным сигналом *; несмотря на это, справедлива следующая теорема.

Теорема 10.6. От условия теоремы 10.1 и всех теорем об устойчивости выходного сигнала, вытекающих из нее, можно отказаться, если передаточная функция линейной части будет получена в результате преобразования сдвига нулей (10.38а), примененного к передаточной функции элемента, выходной сигнал которого устойчив **.

Для доказательства этой теоремы необходимо повторить ход доказательства теоремы 10.1 (см. приложение III) с заменой G (р) на G (р) - с. Согласно выражениям (III. 18) и (III. 19) (приложение III) константа с в соотношения, начиная с (III.20), не входит, и доказательство теоремы остается без изменения.

Содержание теоремы 10.6 не должно вызывать удивления. Замена величины на величину с согласно выражению (10.21) означает сдвиг л л

годографа G* (/со) вдоль горизонтальной оси на с единиц.

Пример 10.11. Определить сектор Попова для системы на рис. 10.1, где G (р) = - Р-4 е (0=е е-2

р + 2

Прежде всего перепишем функцию в виде G (р) = 1--= Gj (р) + 1, выразив

р -- 2

ее через функцию Gi (р) = при той же реакции на начальные условия (Q = (t) =

= вввК Преобразование G (р) в G (р) соответствует сдвигу полюсов [см. выражение (10.38а)] ***. Линейный элемент, определяемый через G (р) и eio(0, имеет устойчивый выход. Следовательно, согласно теореме 10.6 к исходной системе можно применить теорему 10.1. Условие Попова (10.19) для этого случая запишется так:

/ш + 2 J К

+4->о.

Читатель может сам убедиться, что это условие выполняется при О < < и при

-со < 9 < , включая 9 = 0. Таким образом, в состав системы может входить нелинейный элемент общего вида и (f) = F [e(f), f], расположенный в полуоткрытом секторе Попова (и/е) 0,±.у

До сих пор мы обсуждали преобразование сдвига полюсов ко всей передаточной функции линейной части. Иногда оказывается более целесообразным применять его лишь к части линейного элемента. Следующий пример показывает, как можно преобразовать двухконтурную систему в одноконтурную, для которой справедлива основная теорема. -

Пример 10.12. Определить предельное значение коэффициента обратной связи h= в приводе системы, показанной на рис. 10.17а, такое, что при /i> /ic выходной сигнал у (t) будет асимптотически стремиться к установившемуся значению Ус, которое зависит от постоянного входного сигнала величины R.

Эта система относится к системе непрямого управления, показанной на рис. 9.6.

* Передаточная функция преобразованной линейной части, равная G (s) + с, имеет те же особенности, что и исходная передаточная функция G (s); следовательно, характерное свойство устойчивости сохраняется после преобразования (10.38а). Однако из-за наличия постоянной с условия (10.9) не выполняются (покажите это), и преобразованный элемент имеет неустойчивый выходной сигнал (см. определение 10.3).

** Для теорем 10.4 и 10.5 это утверждение относится к линейному элементу, охваченному отрицательной обратной связью с коэффициентом а.

*** Передаточные функции G (р) и Gi(p) примера 10.11 идентичны Go(p) и G (р) из (10.386) соответственно. Кроме того, с = -1.

Для того чтобы к ее анализу применить описанный выше метод, необходимо преобразовать систему к виду, показанному на рис. 10.176, для которой

--6(0, оэ)*; 0(р) = -1-

р + 6

(р-Ь2)(р + 3)

ео (О = ею+еое- + е,-* + R.

В постоянной составляюш,ей реакции системы на начальные условия можно учесть, без ограничения общности, и постоянный входной сигнал R. Тогда свободная система с обратной связью на рис. 10.176 соответствует исходной системе рис. 10.17а. Используя выражение (10.21), получим

о;(/ш).=--

G (/ш) = G2 (/ш) h,

24 + 0)2

36 + 130)2 + ш4 36 + 13ша + ш4 Условие Попова (10.22) принимает вид

Re G* (/ш) - 9 Im G* (/ш) = Re GJ (/ю) - (im G* (/ш) - ft) > 0.

36 - 0)2

р + 6

y(t)

-e(t)=g(t)+hu(t)-R

Рис. 10.17: а) Структурная схема системы к примеру 10.12; б) Преобразованная структурная схема системы

Из годографа GJ (/ш) (рис. 10.18) следует, что 1ш GJ (/оз) имеет максимум, приблизительно равный 0,059. Поэтому условию Попова можно удовлетворить при 9 > О, если h > > 0,059.

Рассмотренная система исследовалась также прямым методом Ляпунова в примере 9.11 где область устойчивости определялась как область значений Л > 2. Таким образом, изложенный нами частотный метод позволил существенно расширить эту область.

При ft> 0,059 для системы (рис. 10.176) существуют асимптотически устойчивое управление и асимптотически устойчивый выходной сигнал. Последнее означает, что е (оо) = О, и, следовательно, для исходной системы рис. 10.17а получим

A + Gi(0)

* Строго говоря, (ы/е) £ [О, оо]. Однако для каждого Л > О существует б> О такое, что для релейной характеристики {ule) [6, оо ], если е ] Л (действительно, поскольку

и = sign е, то 6 = Следовательно, будет правильно записать (ule) g (О, оо).

) В примере 9.11 рассматривался сектор (ы/е) £ (О, оо], который соответствует элементу на рис. 10.176.