Можно вывести еще одно интересное соотношение между (г, т) я G (s). С учетом предположений, сделанных в отношении g (f) (в § II.2), из уравнения (II.2) следует, что

lim TS (е, т) = lim У, g {тТ* + kT) е f*)?- =

= j eg (t)dt = G (s). Re a.

(11.29)

Так как выражение (11.29) не зависит от т, указанный вьшод в равной мере остается действительным при использовании S (z) вместо S (г, т).

II.6. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно написать в таком виде:

ааш = blek.l.

г=0 г=0

(11.30)

где {ei} - заданная входная последовательность, а {у{} - неизвестная выходная последовательность. Для решения уравнения (11.30) осуществим z-преобразование обеих частей. Из свойства сдвига выражения (11.146) следует, что

п £-1 I т \ т 1-1

I п \

\i=0

i=l/=0 \i=0

(2) = (г)(г) + %(г).

£=1 /=0

Чг) =

bizi 1=0

Vo(z)

n i-1 m i-1 t=l /=0 t=l /=0

(II.31a>

(11.316)

(II.3lB>

Здесь S (г) можно рассматривать как передаточную функцию в z-области между входной последовательностью {е} и выходной последовательностью о () представляет собой

также реакцию на выходе на начальные значения указанных последовательностей. Систему, определяемую сооотношениями (11.31), можно рассматривать как линейную дискретную систему. Заметим аналогию между z-преобразованием дискретной системы и преобразованием Лапласа линейной непрерывной системы.

Выходную последовательность {yk} можно получить путем обратного z-преобразования У (z).

Из соотношений (11.316) и (11.31в) видно, что S (г) и о () имеют одни и те же полюсы. Отсюда следует, что при отсутствии входа устойчивость линейной системы (11.30) можно вывести из местонахождения этих полюсов.

Система (11.30) считается устойчивой относительно выходного сигнала, если при ей = О для всех k, lim (/fe = О у каждого ряда начальных условий {У( У1, -. J/n-ib а I № конечна

для всех к. При этом определении на основе выражении (П.21), (11.22) и (11.31) можно доказать следующую теорему.

Теорема П.2. Линейная дискретная система (П.ЗО) устойчива на выходе в том и только в том случае, если все полюсы S (г) лежат в области z<C !

п.7. Линейные импульсные системы

Динамическое поведение многих дискретных систем, таких как системы с управляющими вычислительными машинами, соответствует соединению линейных непрерывных элементов, возбуждаемых модуляторами . Введем следующие обозначения: для входа импульсного элемента е(), а для выхода е* (t). Тогда сигнал на выходе определится в виде

e*(t)= fe(kT-)iiB(t-kT), (11.32)

где Но (t) - единичный импульс.

Это показано на рис. 11.1а. Выходной сигнал модулятора е* (f) будет возбуждать линейный элемент, выходной сигнал которого принимает вид

y(t) = yo(t)+ Ц e(kT*)g(t-kT),

(11.33)

где Уо (О - реакция на начальное условие, а g (f) - реакция линейного элемента на единичный импульс.

e(t) о-*о рх>-

y(t) r(t) e(t) e*(t)

G(P)

Рис. 1: a) Импульсная система с разомкнутым контуром; б) Импульсная система с замкнутым контуром

С учетом свойства свертки (11.17) модифицированное z-преобразование с опережением для выражения (П.ЗЗ) принимает вид

т) = %(г, in)-\-(z)S(z. т). (П.34)

Для импульсной системы с замкнутым контуром, показанной на рис. П. 16, получим дополнительное соотношение e{t) = г {Щ - у (f), имеющее модифицированное z-преобразование с опережением:

ё (2, т) = (г. от) - (2, от). (П.35)

Так как (г, 0) = (2), 55 (г, 0) = Si (г) и (г, 0) = (г), то из выражений (И.34) и (11.35) следует, что

gg(2)-%(2)

+ S(Z)

Подставив это в выражение (П.34), получим для выходного сигнала

(П.36)

, g(2)%(2, от)-(2. т)%(2) S(z.m)

Для частного случая m = О имеем

Уо(г)

(2):

1М

l+S(z) 1-Ь(2)

55(2).

(П.376)

Из выражений (П.34) или (П.37а) можно определить реакцию на выходе в виде у (f) = = У ((т -f- k) 7*+) для системы соответственно с разомкнутым и замкнутым контурами путем осуществления обратного преобразования (2, т). Если интерес представляет лишь реакция в дискретные моменты выборки сигнала t = йГ+, то можно использовать выражение (П.376).

Для анализа устойчивости линейных импульсных систем можно исследовать асимптотическое поведение сигнала у (f). По аналогии с определением, приведенным в § П.6, можно сказать, что линейная импульсная система устойчива, если lim (/ (m 4 k) Т* = О и I </ (т +

+ fe) Г+ К оо для каждого k.

Модифицированное г-преобразование с опережением для основных функций

Таблица П.1

G(s)

g (О

SU. т); о <т < 1

Область сходимости

(2-1)

г> 1

2-1 (Z~lf .

2>1

S -j- а

гТ Г 2т+1

2 [г-1 (21)- (2-1)3 J

\г\>1

\z\>e

.-ат

(s + af

,-at

,- атТ

2-e- {г-е- У

2>е

,-аТ

(s + af

-zT-

(2m + 1) 26-2

2 - е

г>е-

,-аТ

(s + af+b

е sin 6

-от Г

Гг sin mfcr + е~° sin f(l - /я) /)Г] - 226-° cos ЬГ + е-2о7-

2>е