приводящее каждую систему в начало координат. При (0) = х (0) систему с меньшей постоянной времени или большим значением % можно быстрее привести к началу координат. Оптимальное время приведения Xi и к началу координат обозначим соответственно через и Га; так как ?2, то видно, что TlC Г.

Рассмотрим системы, включающие в себя х, и х вместе как систему второго порядка. Поскольку в соответствии с условиями оптимального по быстродействию управления х и х. Должны одновременно достигнуть начала координат, то ясно, что составляющая система первого порядка с большей постоянной-времени определяет оптимальное время управления. Очевидно, что оптимальным временем должно быть Тц- Поэтому любое и которое может привести Хх к началу координат за время Г, больше минимального времени (для х,), все же можно рассматривать как оптимальное управление. Таким образом, является неединственным; по -существу оно не должно быть даже релейным.

К более значимым системам второго порядка, которые не являются -управляемыми, но являются полностью управляемыми, относятся системы, сводимые к виду

Здесь можно использовать тот же метод рассуждения, как и выше, чтобы показать неединственность оптимального по быстродействию управления (см. упражнение 16.5).

Полезно изучить некоторые свойства L-управляемых систем.

Если обозначить через bi i-й вектор-столбец матрицы В, то имеем следующую теорему.

Теорема 16.1. Линейная стационарная система х = Ах + Ви является L-управляемой в. том и только в гом случае, если векторы bi, Abi, Abi, . . ., A ~bt линейно независимы для каждого значения i (t = 1,. . ., г).

Для доказательства этой теоремы заметим сначала, что так как я]) (t) = = (г , 0) я]) (0) = (е~0 (0), то можно [(01 представить в виде [if {0)е~*Ву. Предположим, что в каком-то интервале времени /-я составляющая функция переключения становится равной нулю. Это значит, что в этом интервале]

tij{t) = {0)e-bi = 0; >

(Ь] (t)) = -if (0) Ае-Ь,- = - я]) (0) е-Л Ь,- = 0;

(&я15 (0) = if (0) Лe-&, = if (0) е-л&у = 0; -~Г (&/ (0) = (0) (- Af-e- = 1],- (0) е- (- АГ-% = 0.

(16.8)

Для вывода системы (16.8) воспользуемся тем, что Ле = е Л. Теперь систему (16.8) можно выразить в виде матричного уравнения вида

, /СУе-Ч(0) = 0,1 (16.9)

где Kj-матрица размерностью пхп со столбцами Ь/, АЬ/, Abj . . . , А -\.

Так как является не особой, а я]) (0) вообще не равна нулю, то выражение (16.9) означает, что Kj должна быть особой. Иначе говоря, это значит, что столбцы К/ не могут быть линейно независимыми (см. приложение I). Таким образом, линейная независимость векторов-столбцов матрицы Kj представляет собой необходимое условие для необращения в нуль любых составляющих функции переключения (Вгрф).

Та часть теоремы, которая содержит достаточное условие, является, по-видимому, вполне убедительной, если не произойдет скольжения или каких-

либо необычных явлений. Из рассмотрения формы функции переключения следует, что эти явления будут невозможны, если ни одна из составляющих функции переключения не обратится в нуль на каком-либо конечном интервале времени.

Неединственность и* (f) можно лучше представить с помощью геометрической картины, изображенной в гл. 14. Для системы, рассматриваемой в примере 16.3, достижимое множество С относительно начала координат в трехмерном пространстве с координатами Xj, Х2 к t* примет вид обращенного тетраэдра с искривленными сторонами (покажите это). После некоторого размышления станет ясно, что проекции на плоскость Xj, Xg множества 6 будет достаточно для определения ориентации вектора г] или я]5* (i). Заметим, что на плоскости х, Ха проекция множества G представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными основной оси.

Можно видеть, что вдоль каждой стороны прямоугольника вектор я])* (tj), представляющий собой внешнюю нормаль к С, должен бьп-ь одним и тем же. Далее, так как стороны прямоугольника параллельны оси Xj или оси Xg, одна из составляющих я]5* (t-,) должна быть равна нулю. Из сопряженных уравнений = -Xj-j и ilJa = -kfpz следует, что если одна из составляющих я]) равна нулю при t то она останется равной нулю и в дальнейшем, приводя к условию вырожденности.

Плоская граница достижимого множества G определяет условие вырожденности задачи. Конечно, это лишь достаточное, но не необходимое условие.

Интересные случаи вырожденного оптимального по быстродействию управления некоторыми линейными стационарными системами четвертого порядка представлены в работе [183].

16.3. ВЫРОЖДЕННЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В ОПТИМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПО РАСХОДУ ТОПЛИВА

В случае оптимального по расходу топлива управления линейными стационарными объектами вырожденное управление вновь подразумевает неединственность. Однако условия вырожденности здесь оказываются менее жесткими, чем в задачах оптимального по быстродействию управления. Так, например, из гл. 12 мы уже видели, что как единичные, так и двойные интеграторы могут иметь неединственные решения оптимальных по расходу топлива систем, хотя уравнения х = и х = и являются, очевидно, L-управляемыми и, следовательно, не могут иметь особых оптимальных по быстродействию регуляторов.

Заметим, что объекты управления с одной или более степенями интегрирования будут всегда приводить к неединственности для каких-либо началь-

НЫХ состояний, если показатель качества имеет форму f = \ u\dt, где

Т > t*. Чтоб показать это, будем придерживаться действий, указанных в примере 12.5 (и упражнении 12.5), и выберем начальную точку, которая Требует и*, не меняющего знак. Существует бесконечное число способов выбрать такое к*, чтобы получить в результате один и тот же функционал/*. Поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема 16.2. Оптимальное по расходу топлива управление линейным объектом л: = Ал:-f ;Вк будет невырожденным, если \АК,-\фО при / = = 1, . , ., г, где Kj - та же матрица, что и в уравнении (16.9).

Так как Л/С/ = Л [/С/, то соотношение \АК,\ = 0 означает, что или \А \ =0, или Kj I = О, или и то и другое вместе. При \Ki \ =0 объект не является L-управляемым. Кроме этого, при \А \ ==0 по меньшей мере одно из собственных значений А равно нулю и управляемый объект имеет по меньшей мере одну степень интегрирования.

Попробуем доказать справедливость теоремы 16.2.

Из гл. 14 известно, что решение.оптимальной по расходу топлива задачи с линейным управляемым объектом имеет вид

Uj{t) = -~6ez(bjj?(t)), г. (16.10)

Таким образом, и] (t) становится неопределенной только в том случае, если соответствующая функция переключения (й/я)) (t)) тождественно равна + 1 или -1 на каком-то конечном интервале времени.

При Ь]\}р {t) тождественно равном -)-1 или -1 имеем

[bh (t)) = Ь] (t) = b- (- лЧ it)] = ~ [AbjY (t) = 0;

(16.11)

При наличии матрицы Kj размерностью n хп, определенной в предыдущем параграфе, систему уравнений (16.11) можно записать в виде

.{AK,Y{t) = 0. (16.12)

Так как i (t) Ф О, то отсюда следует условие теоремы 16.2,

Полезно снова рассмотреть геометрические- соотношения, выведенные в гл. 14.

Пример 16.4. Заметим, что для системы

х= аи с /= [b\u\dt и 1 ы К ty достижимое

Рис. 16.3. Достижимое множество G {t) при t = f и t = t* для системы, рассматриваемой в примере 16.4

множество G (f) в плоскости зависимости f от х представляет собой перевернутый равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 16.3. Стороны этого треугольника имеют наклон Ыа.

Предположим, что при t = {) х находится в состоянии х,. Рассмотрим теперь конечное состояние х,- При t<i t*, где t*-оптимальное время, невозможно достигнуть хс помощью какого-либо допустимого управления и, следовательно, решение отсутствует. В момент времени t~ t*, С {t*) лишь касается х и оптимальные по быстродействию и расходу топлива решения равны друг другу. По существу точка .ж = Xg = all; f = bU представляет собой угловую точку треугольника С (t*) (см. рис. 16.3). Здесь имеется неясность в том, что должна представлять собой внешняя нормаль я]) {t*). Эта неясность устраняется использованием принципа максимума, на основе которого можно легко сделать вывод с том, что справедливо условие (t*) = b/a.

При t* КЗ рис. 16.3 следует, что оптимальная по расходу топлива точка х= х,; f = ьи лежит на стороне треугольника С (Т) и допускает единственное значение для г]з {t, а именно: if (у = Ь/а.

При использовании принципа максимума мы видим, что и* (f) = U dez (ф (f) a/b] представляет собой оптимальное по расходу топлива решение, и особое управление имеет место

Подобная неясность наблюдается также и в случае G (t*) в примере 16.3, в чем читатель может легко убедиться сам.