Однако чаще целесообразнее рассматривать обратную задачу. Допустим, мы выбрали положительно определенную матрицу С, равную, скажем, единичной матрице С = /. Тогда, по крайней мере теоретически, из уравнения (9.16) можно определить матрицу Q. Если квадратичная форма, определяемая матрицей Q, оказывается неопределенной (знакопеременной), то по первой теореме о неустойчивости начало координат неустойчиво.. Если же матрица Q положительно определенна, то поскольку система линейна и стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в целом. Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли уравнение (9.16) однозначно матрицу Q, если задана симметричная и положительно определенная матрица С.

Можно показать, что справедливы следующие утверждения.

1. Если п собственных значений К,- . . . Я, матрицы А таковы, что К + О (/, / = 1, . . . я), то из уравнения (9.16) при заданной матрице С матрица Q определяется однозначно (упражнение 9.13). Отметим, что для устойчивой матрицы Л это условие выполняется всегда.

2. Если матрица Л устойчива и матрица С положительно определенна то матрица Q также положительно определенна (упражнение 9.14).

Если матрица С положительно определенна, то условие положительной определенности матрицы Q является достаточным условием устойчивости матрицы Л, так как функция V = xQx есть функция Ляпунова для рассматриваемой системы. Утверждение 2 также означает, что положительная определенность матрицы Q есть необходимое условие устойчивости матрицы Л если матрица С положительно определенна. Итак, мы можем сформулировать следующую теорему, впервые доказанную Ляпуновым.

Теорема 9.8. Необходимое и достаточное условие равномерной асимптотической устойчивости в целом положения равновесия линейной автономной системы л: = Ах заключается в том, что для произвольной симметричной положительно определенной матрицы С существует симметричная поло-

и (и-1-1)

жительно определенная матрица Q, которую находим из -- уравнений * вида AQ+ QA = -С.

Весьма полезно и обратное утверждение.

Следствие 9.4. Если начало координат линейной автономной системы X = Ах устойчиво, то существует единственная функция Ляпунова вида V (х) = xQx, где матрица Q удовлетворяет уравнению AQ-\-+ QA = - С и С - произвольная симметричная, положительно определенная матрица.

Используя полученную теорему и ее следствие, можно достаточно просто доказать критерий Рауса-Гурвица устойчивости линейной автономной системы [155]. Традиционное доказательство этого критерия значительно сложнее и весьма трудоемко [169].

9.5. ЗАДАЧА ЛУРЬЕ **

Мы уже отмечали в гл. 5, что гипотеза Айзермана, вообще говоря, не выполняется. Поэтому необходимо проанализировать иные и, по-видимому, более жесткие условия, гарантирующие асимптотическую устойчи-

* Ввиду симметрии матрицы С требуется лишь уравнений для отыскания

матрицы Q из матричного уравнения

AQ + QA = -С.

** См. работы [58], [66], [118], [120], [122], [125], [129]. ... ,

BOCTb в целом. В этом отношении интересен подход, предложенный А. И. Лурье в 1950 г.; им, по существу, рассматривался тот же тип систем, который изучался и М. А. Айзерманом. Ставилась задача отыскать все комбинации значений параметров и видов нелинейных характеристик, для которых некоторая функция V частного вида является функцией Ляпунова изучаемой системы. Используемая А. И. Лурье функция V представляла сумму квадратичной формы и интеграла нелинейной характеристики.

Развитие так называемой задачи Лурье имеет интересное продолжение и нашло свое отражение в работах многих исследователей. В первой работе Лурье, а в дальнейшем в работах Летова использовался специальный вид функции Ляпунова, о котором говорилось выше. В этом случае можно получить п квадратных алгебраических уравнений для определения значений параметров, гарантирующих асимптотическую устойчивость в целом rff) e(f) исследуемой системы (упражнения 9.7 и 9.8).

Для систем высокого порядка совместное решение большого числа \

квадратных уравнений вызывает Рис. 9.5. Структурная схема системы пря-трудности. В 1961 г. Ла-Ссаль и мого регулирования

Лефшец показали: для задачи непрямого регулирования необходимое и достаточное условие того, что выбранная функция V является функцией Ляпунова, определяется некоторым скалярным неравенством, в которое входят параметры системы. Эти исследования позволили придать практическую значимость задаче Лурье.

Однако, пока велась работа по этим направлениям в Советском Союзе и в США, румынский математик В. М. Попов разработал более строгий критерий. Эти результаты были опубликованы первоначально в румынских журналах и не были известны широкому кругу ученых, пока в 1961 г. не появилась статья в советском журнале Автоматика и телемеханика *. Интереснейшая особенность критерия Попова заключается в том, что это частотный критерий и, кроме того, он обобщает условие Лефшеца, разрешающее задачу Лурье.

Поскольку результаты Попова и их развитие представляют самостоятельный интерес, мы посвятим им в дальнейшем целую главу. Резуль таты Лефшеца в ряде случаев, вероятно, дают самое простое. решение поставленной задачи, в чем мы убедимся при рассмотрении данного параграфа.

Типы систем, для которых формулируется задача Лурье, разделяются Б основном на две группы. Это системы прямого регулирования (рис. 9.5), которые мы рассматривали до настоящего времени, и системы непрямого регулирования (рис. 9.6а), в которых нелинейность / (е) и исполнительные органы охвачены обратной связью.

Системы непрямого регулирования наиболее часто встречаются в системах управления самолетами и ракетами, где гидравлический привод перемещает рулевые органы, изменяя тем самым движение летательного аппарата. Заметим, что систему непрямого регулирования можно преобразовать в систему прямого регулирования и наоборот.

* Речь идет о статье Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования . Автоматика.и телемеханика т. XXII, № 8, стр. 961, 1961 {Прим. ред.).

Как правило, нелинейность / (е) удовлетворяет следующим условиям:

!{е) = 0, е= 0;

/ (z) dz>0, e=h 0;

(9.17)

где / (е) - непрерывная функция, за исключением, быть может, лишь точки е = 0.

При этом условиям (9.17) удовлетворяют те нелинейности, для которых выполняется гипотеза Айзермана.

Лурье стремился выяснить условия, при которых системы прямого и непрямого регулирования асимптотически устойчивы в целом для всего класса нелинейностей, удовлетворяющих условию (9.17). Сформулируем следующее определение.

Определение 9.1. Автономная система вида, показанного на рис. 9.5. и 9.6а, абсолютно устойчива, если ее начало координат асимптотически устойчиво в целом для всех нелинейностей / (е) вида (9.17).

Рассмотрим случай системы непрямого регулирования (рис. 9.6а). Пусть полюсы передаточной функции G (s) различны и имеют отрицательные

действительные части, Я (s) = - . Трансформируя линейную часть системы

и учитывая свойство автономности, легко получить эквивалентную, в смысле анализа устойчивости, структурную схему системы при условии, что h + += О (см. упражнение 9.16). Соответствующая структура показана на рис. 9.66. Заметим, что выходная координата не совпадает с исходной координатой у.

Систему, показанную на рис. 9.66, можно описать следующими уравнениями *:

л;=:Лл; + &/(е); ёсх - кЦе); усх. (9.18)

Введем функцию V:

V(x, е) - xQx + J / (z) dz, (9.19)

где Q - произвольная симметричная, положительно определенная матрица-Тогда

У{х, е) =: xQx + JcQx + f (е)ё = х {AQ -\-QA) х-\-

+ / (е) [bQx + xQb + сх] - hf (е). (9.20)

Поскольку линейная часть системы устойчива, то, имея в виду следствие (9.4) и определяя матрицу Q из уравнения

Л(? + (?Л = -С, (9.21)

где С - произвольная симметричная, положительно определенная матрица, мы гарантируем симметричность и положительную определенность матрицы Q. Перепишем соотношение (9.20) в следующем виде:

. У{х,е) = - хСх + f (е) (gx + xg) - hf {ё)

= -xCx-2f{e)g-x-hf{e), (9.22)

* Здесь мы следуем работам А. И. Лефшеца [118], [122].