Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Однако чаще целесообразнее рассматривать обратную задачу. Допустим, мы выбрали положительно определенную матрицу С, равную, скажем, единичной матрице С = /. Тогда, по крайней мере теоретически, из уравнения (9.16) можно определить матрицу Q. Если квадратичная форма, определяемая матрицей Q, оказывается неопределенной (знакопеременной), то по первой теореме о неустойчивости начало координат неустойчиво.. Если же матрица Q положительно определенна, то поскольку система линейна и стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в целом. Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли уравнение (9.16) однозначно матрицу Q, если задана симметричная и положительно определенная матрица С.

Можно показать, что справедливы следующие утверждения.

1. Если п собственных значений К,- . . . Я, матрицы А таковы, что К + О (/, / = 1, . . . я), то из уравнения (9.16) при заданной матрице С матрица Q определяется однозначно (упражнение 9.13). Отметим, что для устойчивой матрицы Л это условие выполняется всегда.

2. Если матрица Л устойчива и матрица С положительно определенна то матрица Q также положительно определенна (упражнение 9.14).

Если матрица С положительно определенна, то условие положительной определенности матрицы Q является достаточным условием устойчивости матрицы Л, так как функция V = xQx есть функция Ляпунова для рассматриваемой системы. Утверждение 2 также означает, что положительная определенность матрицы Q есть необходимое условие устойчивости матрицы Л если матрица С положительно определенна. Итак, мы можем сформулировать следующую теорему, впервые доказанную Ляпуновым.

Теорема 9.8. Необходимое и достаточное условие равномерной асимптотической устойчивости в целом положения равновесия линейной автономной системы л: = Ах заключается в том, что для произвольной симметричной положительно определенной матрицы С существует симметричная поло-

и (и-1-1)

жительно определенная матрица Q, которую находим из -- уравнений * вида AQ+ QA = -С.

Весьма полезно и обратное утверждение.

Следствие 9.4. Если начало координат линейной автономной системы X = Ах устойчиво, то существует единственная функция Ляпунова вида V (х) = xQx, где матрица Q удовлетворяет уравнению AQ-\-+ QA = - С и С - произвольная симметричная, положительно определенная матрица.

Используя полученную теорему и ее следствие, можно достаточно просто доказать критерий Рауса-Гурвица устойчивости линейной автономной системы [155]. Традиционное доказательство этого критерия значительно сложнее и весьма трудоемко [169].

9.5. ЗАДАЧА ЛУРЬЕ **

Мы уже отмечали в гл. 5, что гипотеза Айзермана, вообще говоря, не выполняется. Поэтому необходимо проанализировать иные и, по-видимому, более жесткие условия, гарантирующие асимптотическую устойчи-

* Ввиду симметрии матрицы С требуется лишь уравнений для отыскания

матрицы Q из матричного уравнения

AQ + QA = -С.

** См. работы [58], [66], [118], [120], [122], [125], [129]. ... ,



u(t)

G(P)

c(tl

BOCTb в целом. В этом отношении интересен подход, предложенный А. И. Лурье в 1950 г.; им, по существу, рассматривался тот же тип систем, который изучался и М. А. Айзерманом. Ставилась задача отыскать все комбинации значений параметров и видов нелинейных характеристик, для которых некоторая функция V частного вида является функцией Ляпунова изучаемой системы. Используемая А. И. Лурье функция V представляла сумму квадратичной формы и интеграла нелинейной характеристики.

Развитие так называемой задачи Лурье имеет интересное продолжение и нашло свое отражение в работах многих исследователей. В первой работе Лурье, а в дальнейшем в работах Летова использовался специальный вид функции Ляпунова, о котором говорилось выше. В этом случае можно получить п квадратных алгебраических уравнений для определения значений параметров, гарантирующих асимптотическую устойчивость в целом rff) e(f) исследуемой системы (упражнения 9.7 и 9.8).

Для систем высокого порядка совместное решение большого числа \

квадратных уравнений вызывает Рис. 9.5. Структурная схема системы пря-трудности. В 1961 г. Ла-Ссаль и мого регулирования

Лефшец показали: для задачи непрямого регулирования необходимое и достаточное условие того, что выбранная функция V является функцией Ляпунова, определяется некоторым скалярным неравенством, в которое входят параметры системы. Эти исследования позволили придать практическую значимость задаче Лурье.

Однако, пока велась работа по этим направлениям в Советском Союзе и в США, румынский математик В. М. Попов разработал более строгий критерий. Эти результаты были опубликованы первоначально в румынских журналах и не были известны широкому кругу ученых, пока в 1961 г. не появилась статья в советском журнале Автоматика и телемеханика *. Интереснейшая особенность критерия Попова заключается в том, что это частотный критерий и, кроме того, он обобщает условие Лефшеца, разрешающее задачу Лурье.

Поскольку результаты Попова и их развитие представляют самостоятельный интерес, мы посвятим им в дальнейшем целую главу. Резуль таты Лефшеца в ряде случаев, вероятно, дают самое простое. решение поставленной задачи, в чем мы убедимся при рассмотрении данного параграфа.

Типы систем, для которых формулируется задача Лурье, разделяются Б основном на две группы. Это системы прямого регулирования (рис. 9.5), которые мы рассматривали до настоящего времени, и системы непрямого регулирования (рис. 9.6а), в которых нелинейность / (е) и исполнительные органы охвачены обратной связью.

Системы непрямого регулирования наиболее часто встречаются в системах управления самолетами и ракетами, где гидравлический привод перемещает рулевые органы, изменяя тем самым движение летательного аппарата. Заметим, что систему непрямого регулирования можно преобразовать в систему прямого регулирования и наоборот.

* Речь идет о статье Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования . Автоматика.и телемеханика т. XXII, № 8, стр. 961, 1961 {Прим. ред.).



Как правило, нелинейность / (е) удовлетворяет следующим условиям:

!{е) = 0, е= 0;

/ (z) dz>0, e=h 0;

(9.17)

где / (е) - непрерывная функция, за исключением, быть может, лишь точки е = 0.

При этом условиям (9.17) удовлетворяют те нелинейности, для которых выполняется гипотеза Айзермана.

Лурье стремился выяснить условия, при которых системы прямого и непрямого регулирования асимптотически устойчивы в целом для всего класса нелинейностей, удовлетворяющих условию (9.17). Сформулируем следующее определение.

Определение 9.1. Автономная система вида, показанного на рис. 9.5. и 9.6а, абсолютно устойчива, если ее начало координат асимптотически устойчиво в целом для всех нелинейностей / (е) вида (9.17).

Рассмотрим случай системы непрямого регулирования (рис. 9.6а). Пусть полюсы передаточной функции G (s) различны и имеют отрицательные

действительные части, Я (s) = - . Трансформируя линейную часть системы

и учитывая свойство автономности, легко получить эквивалентную, в смысле анализа устойчивости, структурную схему системы при условии, что h + += О (см. упражнение 9.16). Соответствующая структура показана на рис. 9.66. Заметим, что выходная координата не совпадает с исходной координатой у.

Систему, показанную на рис. 9.66, можно описать следующими уравнениями *:

л;=:Лл; + &/(е); ёсх - кЦе); усх. (9.18)

Введем функцию V:

V(x, е) - xQx + J / (z) dz, (9.19)

где Q - произвольная симметричная, положительно определенная матрица-Тогда

У{х, е) =: xQx + JcQx + f (е)ё = х {AQ -\-QA) х-\-

+ / (е) [bQx + xQb + сх] - hf (е). (9.20)

Поскольку линейная часть системы устойчива, то, имея в виду следствие (9.4) и определяя матрицу Q из уравнения

Л(? + (?Л = -С, (9.21)

где С - произвольная симметричная, положительно определенная матрица, мы гарантируем симметричность и положительную определенность матрицы Q. Перепишем соотношение (9.20) в следующем виде:

. У{х,е) = - хСх + f (е) (gx + xg) - hf {ё)

= -xCx-2f{e)g-x-hf{e), (9.22)

* Здесь мы следуем работам А. И. Лефшеца [118], [122].



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.