Предположим, что коэффициент а в кубической зависимости мал, тогда можно приближенно найти амплитуды и з и оценить форму субгармонических колебаний.

Если а = О, то из уравнения (7.156) следует, что = ЗсОо, а значение зо определяется по формуле

30=-Л- (7.17).

8сйо

Для малых, но ненулевых значений а можно приближенно считать, что величина з определяется как результат подстановки выражения (7.17) в левую часть соотношения (7.166):

О а,

Рис. 7.6. Кривая Ml = /(%), полученная по уравнению (7.16а) при fl> О

3 30 - ( ! + 21а2 - 27aia + 51 ао). (7.18)

Анализ уравнений (7.16а) и (7.18) позволяет сделать некоторые качественные и количественные выводы относительно свойств субгармонических колебаний в уравнении Дуффинга при малых значениях величины а. Рассмотрим случай, когда а> 0. На рис. 7.6 показана кривая от а, полученная по уравнению (7.16а) при а> 0. Из рис. 7.6 видно, что существует минимальное значение со = сОщщ, ниже которого не может пройти кривая. Это означает, что в системе

не может быть субгармонического, резонанса -го порядка для coi ниже cotnin-

Можно установить, что сотш возникает при =

и определяется следующим соот-

ношением:

(7.19>

Из соотношения (7.19) следует, что минимальная задающая частота для возбуждения субгармонического резонанса .го порядка всегда должна быть больше ЗМо. Последнее

и показывает, что субгармоническая частота .-го порядка будет всегда выше, чем резонансная частота cOq линейной системы.

Для данных значений R яа можно определить по кривой, изображенной на рис. 7.6. Подставив значение 1 в уравнение (7.19), определим приближенное значение 3. №

Уравнение Дуффинга, в котором отсутствует затухание и поэтому нет фазового сдвига, является особым случаем более общей системы, показан--ной на рис. 7.4, б. При этом полное решение должно состоять из решения четырех совместных трансцендентных уравнений (7.14), что представляет определенные трудности. Однако, как это было показано Дж, Вестом в работе [196], уравнения (7.14а) позволяют установить достаточные условия отсутствия субгармонических колебаний (или, что то же самое, необходимые условия их существования) .

Перепишем уравнение (7.14а) в виде

N1 (oi, аз, Ф)

Рис. 7.7. Область в плоскости G (/со) - 159° < arg G (/о) < 159° для системы, изображенной на рис. 7.4, б, где отсутствуют субгармонические колебания

Ni (oi, аз, Ф)

(7.20)

(а\ +2а1~ аа cos Зф) + /djOg sin ЗФ

Дж. Вест показал, что для заданных и ад и угла Ф, изменяющегося от О до 2я, функция -будет описывать окружность на комплексной

плоскости. Более того, все такие окружности будут лежать внутри сектора, который показан на рис. 7.7 (см. упражнение 7.9). Отсюда видно, что метод эквивалентной передаточной функции для двухчастотного входного сигнала дает достаточное условие отсутствия субгармонических колебаний, которое заключается в том, что амплитудно-фазовый годограф G (/со) не входит в упомянутый сектор. Напротив, необходимое условие существования субгармонических колебаний заключается в том, что годограф G (/со) входит S этот сектор.

7, 3. другие;;: применения эквивалентной передаточной функции для двухчастотного входного сигнала

1. Определение дополнительной гармонической составляющей автоколебаний

Применение эквивалентной передаточной функции по двум входным сигналам наиболее целесообразно в тех случаях, когда требуется оценить влияние третьей гармоники автоколебаний. Для нелинейной системы, представленной в стандартной форме (см. рис. 6.5), предполагается, что сигнал на входе нелинейности равен

е (t) = sin ((at -\-Ф) Л- sin 3©f. (7.21)

Условия существования автоколебаний в системе можно записать в виде четырех уравнений с четырьмя неизвестными а, ад, Ф и со:

Nl(ai, аз, Ф) G (/ш) = -1; (а, а, Ф) G (3/ш) = -1. (7.22)

Решение уравнений (7.22) является не простой задачей. Возникающие трудности иногда удается преодолеть, выбрав удобную форму для эквивалентных передаточных функций и Ng по первой и третьей гармоникам. Далее можно считать, что решения уравнений (7.22) находятся графически как пересечение годографов передаточной функции G (/со) и обратных эквивалентных характеристик

-l/Wi (ai, аз, Ф)1 и -l/lNs (а, а, Ф)].

Остается трудность, связанная с определением функций и n3, которые зависят от величин ai и аз и могут быть изображены графически, как семейство функций -(l/Nj) и - (I/n3), причем для каждого а надо изобразить графики функций - (UNj) и - (I/n3) для различных значений и Ф. Таким образом, получается два семейства графиков, что значительно усложняет анализ.

Для нелинейностей, которые подчиняются закону / (ё) = ke , эквивалентная передаточная функция для двухчастотного входного сигнала выражается через гармонический ряд с конечным числом членов и может быть найдена методом итераций. Как правило, начальные значения а и со для процесса итераций находятся по методу обычной эквивалентной линеаризации. Однако могут быть такие случаи (задача 7.3), когда метод обычной гармонической линеаризации указывает на отсутствие автоколебаний, в то время как в реальной системе управления они есть *. При учете первой и

* См., например: 1) Т о п ч е е в Ю. И. О надежности нелинейных систем автоматического управления, склонных к автоколебаниям. Автоматическое управление и вычислительная техника , вып. 7. М., Машиностроение , 1967.

2) Нелинейные системы автоматического управления под ред. Е. П. Попова. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. М., Машиностроение , 1970 (Прим. ред.).

третьей гармоник удается расчетным путем показать, что в системе возникают автоколебания.

Для нелинейной характеристики типа вдеального реле эквивалентную передаточную функцию для двухчастотного входного сигнала можно найти следующим образрм: поскольку гармоники выходного сигнала зависят только от отношения ctjag, а не от их абсолютных величин, то эквивалентная передаточная функция определяется по двум кривым: -l/(agNi) и -l/(aiA/3).

Нормированные отрицательные обратные значения эквивалентной передаточной функции -l/{asNi) и -llia-Ns) для релейной характеристики с единичным уровнем были построены Боненном [23] (рис. 7.8, а, б). Они позволяют построить результирующую кривую только в функции отношения амплитуд

. ... k = . -. (7.23)

Эти графики позволяют найти значения аi, ад, Ф и со для системы управления с нелинейностью типа реле (см. рис. 6.5), используя следующую процедуру:

) находя обычный эквивалентный коэффициент передачи для реле определяем приближенно амплитуду а и частоту колебаний;

2) найденная амплитуда является первым приближением величины а; далее строим графики G (/ш)/°1 и определяем значения и Ф по величине G(/-3tui)/ai при условии,что график G (/cu)/ai наложен на графики-{/(аМз);

3) по значению k находим ад и строим график G (/сй)/ад; после этого определяем значения и Ф в точке G (/cui)/a3;

4) операции пунктов 2) и 3) повторяем до тех пор, пока значения k и Ф для двух последовательных шагов не будут примерно одинаковыми. При некотором навыке все эти действия можно проделать за короткое время.

Теперь сделаем несколько общих замечаний. На рис. 7.8, а и б изображены годографы для диапазона изменений = от = 0,5 до k = 4.

На практике преобладают объекты управления, динамические свойства которых описываются низкочастотными фильтрами. Для таких систем амплитуда третьей гармоники будет всегда меньше амплитуды основной гармоники. Таким образом, требуется довольно сложный объект (например, объект с резонансом вблизи третьей гармоники) для того, чтобы существенное влияние оказывала именно третья гармоника.

Пример 7.3. Рассмотрим систему управления (см. рис. 6.5), включающую объект с передаточной функцией G (р) = 160/[р(р-)- 4) (р-)- 10)], и нелинейность типа ограничителя. Передаточная функция G (р) определяет фильтр низких частот. Фазовая характеристика G (р) достигает-180° при частоте со = 6,3. Для однозначных нелинейностей эта частота представляет собой также и частоту автоколебаний. Амплитуда автоколебаний определяется при этом следующим образом: коэффициент передачи G (р) при со = 6,3 приблизительно равен 0,32.

Это означает, что N = 1/0,32, где N = 4/пе (см. табл. 6.2); амплитуда автоколебаний е = = 0,405.

Используя е в качестве первой оценки для и пересчитывая годограф G (/со) в G (/co)/ai, нетрудно заметить, что точка G(/.3c0i)/ai попадает в область, ограниченную окружностью k = 4 (рис. 7.8, б). Последнее означает, что амплитуда третьей гармоники значительно меньше четверти амплитуды первой гармоники.

Хотя кривые для А > 4 не показаны, можно оценить величину третьей гармоники с большой степенью точности. Предлагаем это проделать самостоятельно в качестве упражнения (см. упражнение 7.1).