новлено лишь для некоторых классов динамических систем. Рассмотрим, например, линейную нестационарную систему, определяемую уравнением

Х{1) = Ф (/, /о) X (Q + j Ф (t, т) b (т) г (т) dx; (11.38а)

уф =:ct)x{t), (11.386)

где г (t) есть вход, а у {() - выход.

Уравнение (11.38а) идентично выражению (11.16) при u{t) = b (t) r{t). Уравнение (11.386) определяет выход у (f) как линейную комбинацию составляющих вектора x(f). Для этой системы справедлива следующая теорема.

Теорема 11.5. Если для системы (11.38) при г (t) = О положение равновесия X = О равномерно асимптотически устойчиво и

I(t)II = S (/)<оо; II&(Oil = TibUt)<oo ДЛЯ всех t, .

TO неавтономная система (11.38) устойчива в целом при ограниченных входном и выходном сигналах. Эта теорема следует непосредственно из теоремы 11.2 (см. задачу 11.2). Справедливость теоремы 11.5 для стационарной линейной системы хорошо известна. При г (f) = О для стационарной линейной системы с передаточной функцией G (s) = сФ (s) b, где Ф (s) = {Is - А)~, начало координат х = О равномерно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда все полюсы составляющих Фц (s) матрицы Ф (s) лежат в области Re S < 0. В этом случае все полюсы передаточной функции G (s) расположены в области Re s < О и можно показать, что каждый ограниченный вход г {i) вызывает ограниченный выход у {f} (см. также задачу 11.3). Теорема 11.5 справедлива и для нестационарных линейных систем.

Для нелинейных же систем общей теоремы не существует. Однако для специального класса систем, рассматриваемых в работах А. И. Лурье и В. М. Попова, некоторые результаты удается получить.

Рассмотрим одноконтурную систему управления, изображенную на рис. 11.1, определяемую уравнением (11.7):

y{t) = -eo{t) +\g{t-T)u (X) dx; (11.39a)

u{t) = le (t), t]; (11.396)

e {t) = r {f) - у {t). (11.39b)

В гл. 10 были рассмотрены частотные критерии для анализа асимптотического поведения такой системы при нулевом входном сигнале г {f) = 0. Предположим, что рассматриваемая система удовлетворяет одному из этих критериев и, следовательно, имеет асимптотически устойчивое уравнение при г {f) = 0. Возникает вопрос, означает ли это, что при г {t) ф О система устойчива в целом при ограниченных входном и выходном сигналах. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.6. Пусть система, определяемая уравнениями (11.39) (см. рис. 11.1) при г {t) = О, удовлетворяет условиям теорем 10.1, 10.4 или 10.5

так, что управляющий сигнал асимптотически устойчив с коэффициентом затухания б для достаточно малых б >> О (см. теорему 10.3) *:

1) если сигналы г (/) и г (t) ограничены для всех t, то выход у (f) должен быть ограничен для всех ограниченных начальных условий;

2) от требований теорем 10.1, 10.4 или 10.5, гарантирующих устойчивость выходного сигнала линейного элемента **, можно отказаться, если передаточную функцию G (s) можно получить преобразованием сдвига (10.38) из функции Gg (s) = G (s) - с, которая определяет устойчивый выходной

сигнал при условии, что О и G [О, оо];

3) если условия теорем в гл. 10, когда г (f) = О, удовлетворяются при 9 = О, то требование ограниченности сигнала г (f) может быть опущено.

Теоремы, близкие по своему содержанию теореме 11,6, были доказаны Бергеном, Ивенсом и Рольтом [17], Сандбергом [175], [177] *** и [178].

Доказательство теоремы 11.6. Из уравнения (11.39а) при умножении и делении подынтегрального выражения на получим сле-

дующее неравенство:

j ев u-t) g{t - %) е- (--м (т) dx

По условиям теоремы можно написать

\г{1)\Гт<оо; \r{t)\r <оо; ко(0<ео <оо.

(11.40)

Тогда, используя неравенство Шварца**** преобразуем приведенное выше интегральное неравенство к виду

/ t \Ф г t \ 1/2

\y(t)\eom+

е-2Е (i-T) иЦт:)с1х\

(11.41)

Остальная часть доказательства заключается в том, чтобы показать ограниченность обоих интегралов при выполнении условий любой из теорем гл. 10. Обратимся к основной теореме 10.1 и теореме 10.3. Прежде всего потребуем, чтобы существовал устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б для достаточно малых 6 >> О, что согласно выражению (10.9) означает существование константы Cg такой, что

/ t \I/2

;Cg<00, 0:/:OO.

(11.42)

* Требование существования асимптотически устойчивого уравнения с коэффициентом затухания е > О для достаточно малых его значений не является ограничительным. Действительно, если, например, передаточные функции G (s) и Ef, (s) есть рациональные функции переменной S, то нетрудно показать, что из существования асимптотически устойчивого управления (степень устойчивости равна нулю) следует существование асимптотически устойчивого управления с коэффициентом затухания е> 0.

** В случае использования теорем 10.4 и 10.5 это относится к линейному элементу, охваченному отрицательной обратной связью с коэффициентом а 0.

*** В работах [175] и [177] рассматривается случай д = О, где t g (f)£Si и для п= О, 1, 2, более общий, чем здесь, и справедливый для систем с распределенными параметрами.

**** См. приложение III.

Для оценки второго интеграла в выражении (11.41) воспользуемся следующей леммой.

Лемма 11.3. Пусть для системы (11.39) при г (t) = О удовлетворяются условия теорем 10.1 и 10.3, так что существует асимптотически устойчивое управление с коэффициентом затухания б для достаточно малых 6. Если при

г (f) ф О существуют константы и гт такие, что \ г (t) г (t) \ =гт < оо, то справедливо следующее соотношение:

/ t \1/2

е-2Е а-х) 2(т-) (т-)

;с <;оо, ооо.

<оо и

(11.43)

где с - константа, зависящая от начальных условий.

Требование теоремы 10.1 об устойчивости выходного сигнала с коэффициентом затухания б можно не учитывать, если линейный элемент получен в результате сдвига полюсов (10.38) элемента, имеющего устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б >> 0. Требование г () = < оо может не выполняться, если теорема 10.1, усиленная теоремой 10.3, верна для 9 = 0.

Набросок доказательства этой леммы приведен в § III.5 приложения III. Из выражений (11.40)-(11.43) следует, что

y(OI<eo + CgC <oo, 0</<оо. (11.44)

Таким образом, мы доказали, что если выходной сигнал нелинейного элемента устойчив с коэ4)фициентом затухания 8 > О и нелинейный элемент

расположен в секторе - [0, К], О = К = оо то существование асимптотически* устойчивого управления с коэффициентом затухания г для системы при г (f) = О определяет устойчивость системы в целом при ограниченных входном и выходном сигналах.

Теперь покажем, что те же результаты получаются и при выполнении условий теоремы 10.4. В этом случае система, изображенная на рис. 10.9, б, удовлетворяет всем условиям теоремы 10.1 ** (см. доказательство теоремы 10.4). Так как справедливо соотношение (см. рис. 10.9, в)

1 , aG(s) . lra(t)+ea,(t)]

-1 aua(s)- [r{t)+eo(t)]

1 + cG (s) 1 + cG (s)

TO ДЛЯ переходной реакции на начальные условия в преобразованной системе из выражения (11.40) найдем

\ra{t) + eoa{t)\:

Г (О + (/) - а gait--с) [г (т) + ео (т)] dx

(11.45)

где постоянная такова, что

\ga{t)\dtCa>oo,

(11.46)

Этот интеграл ограничен, поскольку из условий теоремы 10.4 и требований теоремы 11.5 линейный элемент в результате сдвига полюсов (или еди-

* См. условия теоремы 10.1, касающиеся ограничений, налагаемых на k я зависящих от вида нелинейной характеристики. ** С учетом условий теоремы 10.3.