граничных кривых и применить условие (10.19) для анализа устойчивости по известной частотной характеристике G (/со). Соответствующая диаграмма изображена на рис. 10.24, а пример 10.14 полностью ийлюстрирует данный метод.

10.10. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

10.1 (Фиттс). Проанализируйте систему, структурная схема которой показана на рис. 10.1, еслиобъект описывается следующей операторной функцией:

G(P)=

[(р + 0,1)2 +0,92] [(р + 0,1)2 , 1 12]

а) определите сектор Попова, если в систему включен стационарный нелинейный элемент с однозначной характеристикой. Заметим, что эта система удовлетворяет как гипотезе Калмана, так и гипотезе Айзермана в секторе ы/е6 (О, оо] (упражнение 7.3);

б) определите сектор Попова в случае нестационарного нелинейного элемента.

10.2. Покажите справедливость соотношений (10.30) и (10.31).

10.3. Линейный элемент описывается передаточной функцией G (s) и реакцией на начальные условия - бо (О = -[0 ( )]- Покажите, что если G (s) и Е, (s) -рациональные функции переменной s и при этом все полюсы расположены в области Re s <1 -а, то линейный элемент-имеет устойч вый выходной сигнал с коэффициентом затухания а [т. е. выполняются условия (10.9)].

10.4. В примере 10.6 к исходной системе применяется преобразование сдвига полюсов; при этом передаточная функция линейной части видоизменяется в соответствии с соотношением (10:35). Покажите, что для стационарной и однозначной нелинейности или нелинейности с активным гистерезисом сектор Попова определяется как (uJe) [О, 30 - 2е], где 0<е 15.

10.5. Покажите, что преобразование (10.41) переводит внешность круга на рис. 10.19, а во внутренность круга рис. 10.19, б. После этого завершить доказательство теоремы Бонжорно, сформулированной в сноске на стр. 292.

10.6. Получите области устойчивости, изображенные на рис. 10.23. Линейная часть системы описывается уравнением Матье (10.45).

, b - а b -\-а

1) На плоскости параметров й = -2- ; с = -- построите область допустимых

секторов Попова таких, что в системе е (QО при оо.

2) Выделите внутри этой области подобласть, для которой - e{t) О при (-5- оо.

10.7. Линейный элемент описывается стационарньш уравнением jc {t) = Ах (t) + -\-bu (t); e{1) = cx(t). Собственные значения ki матрицы А удовлетворяют неравенству Re %i < а;

а) покажите, что линейная часть имеет устойчивый выход с коэффициентом затухания а;

б) покажите, что реакция на начальные условия удовлетворяет неравенству ео (t) Мо ехр (-at), где константа Мо зависит от начальных условий;

в) покажите, что импульсная переходная функция линейного элемента удовлетворяет условию I g- (О I 0 ехр {-at) (указание: при этом необходимо воспользоваться теоремой 5.7 задачи 5.13).

10.8. Покажите, что система из задачи 5.20 не имеет устойчивого выхода. Можно ли обеспечить ее устойчивость при охвате линейного элемента обратной связью?

10.9. Допустим, что линейный элемент основной системы на рис. 10.1 характеризуется чистым запаздьшанием и имеет передаточную функцию G (s) = е и

- eo{t)=\

( О в остальных точках,

где 1 (О - заданная функция;

а) покажите, что линейный элемент не имеет устойчивого выходного сигнала;

б) повторяя рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 10.6, покажите, что для передаточной функции G (s) = е~ условия теоремы 10.1 и всех теорем, вытекающих из нее, могут быть ослаблены;

в) с учетом пункта б) определите сектор Попова и/е для обобщенной нелинейности u{t) = ff [е {t), t], внутри которого управление и выходной сигнал системы абсолютно асимптотически устойчивы с коэффициентом затухания а.

10.10. Рассмотрите систему непрямого управления с запаздыванием, описываемую уравнениями

е*(0 = -ы (/ - т) - hu (0; и {f) = ЗГ [е {f), t] в т = 2 сек;

а) рассмотрите нестационарный нелинейный элемент и определите величину К, определяющую сектор Попова ы/е g [О, К], внутри которого управляющий и выходной сигналы абсолютно асимптотически устойчивы. Зависит ли К от параметра ft? Поясните это;

б) если нелинейность стационарна и однозначна и (и/е) t (О, оо) [условие (10.3) при этом вьшолняется], то какова область допустимых значений h, при которых справедливо условие асимптотической устойчивости сигнала управления и выходного сигнала;

в) для обобщенной нестационарной нелинейности и ft = 1 определите в плоскости параметров а и 6 - а область всех допустимых секторов (и/е) g [а, Ь], в которых выполняется свойство абсолютной асимптотической устойчивости сигнала управления и выходного сигнала.

10.11. Для каждого неустойчивого объекта из упражнения 3.16:

а) получите импульсную переходную функцию g(t) и реакцию на начальные условия 1/0 (0;

б) проверьте, является ли выходной сигнал объекта устойчивым;

в) определите степень устойчивости а.

10.12. Определите модифицированные частотные характеристики G* (/ш) для следующих линейных объектов:

а) G(p) =

б) G(p) =

в) G(p) =

г) G (р) =

(Р + 2) (р + 5) 10

(р-2) (р + 5) - 0,5

(Р + 1)(р + 1) 10

Р(Р + Р +100)

Выделите среди них те, для которых угол Гурвица совпадает с сектором Попова.

10.13. Рассмотрите систему примера 10.14, включив в ее контур фазоопережающую цепь вида

г , 1 + р/4 Gc(P)=T+l-

Используя логарифмический годограф G (/ш) G (/а), определите границу К. сектора Попова (ule) (О, К), в котором для системы вьшолняется свойство асимптотической устойчивости управляющего и выходного сигналов.

10.14. Температура нагретого стержня, закрепленного одним концом и имеющего бесконечную длину, измеряется на некотором расстоянии х от места закрепления и служит для определения температуры в точке закрепления стержня {х = 0). Распределение температуры по длине стержня описывается уравнением с распределенными параметрами, аналогичным рассмотренному в примере 3.16 § 3.9.

Такую систему можно представить структурной схемой рис. 10.1, где g (f) = g (х, t) и ео (О = - о (х, t) определяются из уравнений (3.64) и (3.65). К тому же и (<) = v (О, t), где V {х, f) - переменная, которая служит для описания элемента с распределенными параметрами по уравнениям (3.62) и (3.63). Можно показать, что линейная часть с передаточной

функцией G (s) = G {х, s)=e~ [уравнение (3.66)] имеет устойчивый выход.

Определить сектор Попова и/е, гарантирующий асимптотическую устойчивость по управляющему и выходному сигналам:

1) для случая обобщенной нелинейности;

2) для случая однозначной нелинейности.

Замечание. Для того чтобы выполнялись условия (10.9) для сигнала ео (О = = -Do (х, f) при а = О, необходимо предположить, что первоначальная тепловая энергия, запасенная стержнем, ограничена. Это условие выполнится, если \ v (х, 0)]V<oo для всех х: О л: L < оо и v (х, 0) = О при всех x>L. Проверка условий (10.9) для данной системы не является тривиальной.

10.15. Допустим, что осуществляется регулирование линейного элемента, описанного в упражнении 10.14, в соответствии со структурной схемой, показанной на рис. 6.31. При этом

л; = 2,3 и G(s)= е--У;

а) при R = О вайти область допустимых коэффициентов усиления К, обеспечивающих асимптотическую устойчивость сигнала управления и (f). Сравните полученный результат с результатами упражнения 6.9 [см. пункт в) ] и замечания (указание: при этом необходимо воспользоваться результатами примера 10.14);

б) покажите, что выводы пункта а) верны и при R фО.

Замечание. Система может быть асимптотически устойчива по сигналу управления и {t) и по переменной е (i), но не обладать свойством асимптотической устойчивости по выходному сигналу объекта у (t). .

10.16. Известно [147], что при

и при и = f (е) выходной сигнал асимптотически устойчив в секторе и/е [О, оо];

а) покажите, что указанный результат нельзя получить непосредственно из теоремы 10.1;

б) укажите теорему, используя которую, можно получить нужный результат.

10.17. Для сектора (и/е) [а, Ь] v. д ф О можно получить границы устойчивости на плоскости G* (/со), не зависящие от частоты [17];

а) покажите, что следующее неравенство можно получить непосредственно из условия (10.36):

где X* = Re G* (/ш); F* = Im G* (jm).

Из последнего неравенства следует, что выполнение условий

\xr+X+--gY>0; (10.50)

достаточно для того, чтобы выполнялся обобщенный круговой критерий (10.36);

б) для системы (см. рис. 10.1) с линейной частью, удовлетворяющей выражению (10.32), и со стационарной нелинейностью определить наибольший сектор и/е, в котором гарантируется абсолютная асимптотическая устойчивость управляющего и выходного сигналов по параболическому критерию (10.50). Сравните полученный результат с результатами примеров 10.6, 10.8 и 10.9;

в) оцените достоинство критерия (10.50).

10.18. Докажите следствие 10.1 (стр. 282) и примените его к решению упражнения 10.10.

10.11. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Метод Попова в приложении к анализу абсолютной устойчивости рассматривается в работах [1], [67] и [122]. В первой из них дается также обширная библиография трудов до 1963 г. Обзор последних изданий по вопросам устойчивости выполнен и в работе [26].

Оригинальные результаты Попова были опубликованы в статье [163]. В серии последующих статей (см. библиографию в работе [1]) Попов рассмотрел системы с несколькими нелинейностями, которые могут содержать и гистерезисные характеристики определенного вида (см. [202]). Им был также исследован вопрос связи существования частотного критерия и функции Ляпунова. Позднее эта связь была глубже раскрыта в работах [205] и [93]. В работе [93] Калман указывает, что для систем непрямого управления критерий Попова есть необходимое и достаточное условие существования функции Ляпунова в виде квадратичной формы от переменных состояния и интеграла от рассматриваемой нелинейной характеристики. Эти результаты всесторонне рассматриваются в работе [122].

Обширные публикации в этой области в основном отражают два направления: первое - анализ абсолютной устойчивости и второе - исследование асимптотического поведения управляющего сигнала и выходной переменной системы. Первоначальное доказательство Поповым свойства абсолютной устойчивости [1], [122], [163] и в дальнейшем было использовано для оценки асимптотического поведения выходного сигнала. Соответствующие теоремы можно найти в работах [41 ] И [178].

Круговой критерий (для д = 0) был впервые сформулирован в работе [24] для определенного класса систем. Более общая формулировка этого