. Теперь ciai ~ О также можно написать в виде =1

Ас = 0, (1.14)

где А - матрица размера п Х т, i-й столбец 5которой занят вектором ai, а с представляет собой вектор с составляющими с. В векторно-матричном уравнении (1.14) а . . , От являются линейно независимыми в том и только в том случае, если матрица А, определение которой приведено выше, имеет ранг т.

Из сказанного выше следует, что если квадратная матрица А размера тХ т имеет ранг l<im, то ее определитель Л = 0. Это справедливо также для случая, когда имеется квадратная матрица А размера пХп я ненулевой п-мерный вектор х, удовлетворяющий усло-

вию Ах= 0. Тогда последнее выражение можно записать в виде XiUi = О, где Xi представ-

ляет собой составляющие х, а щ являются столбцами А; мы видим, что Ах=0 возможно только в том случае, если Л = 0.

1.5. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы

Уравнение вида Ах = у представляет собой линейное преобразование вектора х в вектор у. Это уравнение можно рассматривать как отображение любого вектора пространства, в котором определен х, а вектор в пространстве, где определяется у. Если Л - квадратная матрица, то X и у имеют одно и то же число составляющих, и действительно, в этом случае А можно рассматривать как оператор преобразования вектора х в другой вектор в том же пространстве.

Часто бывают случаи, когда необходимо найти векторы х и значения скаляра такие, что уравнение (см., например, § 3.4)

Лх = %х . (1.15)

удовлетворяется для какой-либо данной квадратной матрицы Л. Значения скаляра %, при котором удовлетворяется уравнение (1.15), носят название собственных значений квадратной матрицы Л.

Написав уравнение (1.15) в виде

(Л-и)Х = 0, (1.16)

имеем

\А - Х1\ = 0, (1.17)

что является необходимым и достаточным условием существования нетривиальных X, удовлетворяющих (1.15).

Разлагая определитель (1.17), получим полином п-й степени по X, который называется характеристическим уравнением Л. Затем п значений X: Х . . .,Хп (которые не обязательно должны быть действительные или различные) можно найти как корни характеристического уравнения.

Каждому значению X, например Xi, соответствует вектор Ot, удовлетворяющий (1.15), т. е. Л©£ = XiVi. Вектор называется собственным вектором, соответствующим собственному значению Х.

Пример 1.3. Для матрицы

О 1 О О О 1

8 -14 -7

\А-Х1\ =

~Х О

-8 -14

-7-х

= Х + 7Х + 14>>, -f 8 = 0.

В этом случае собственные значения равны Х,

-1; Х = -2; Xg= -4. Значению Х соответствует Л©х = -Vi- Это дает систему уравнений 12= 13=-12= ii.

- 11- 1412 - 713= -Dis, где Оц, Oi2, vs--составляющие вектора ©1. Эта система является однородной, и, следовательно, решение определяется с точностью до постоянного множителя. Приняв = 1-, имеем решение

~ Г

-1 1

Подобным же образом найдем

Может оказаться, что характеристическое уравнение действительной матрицы имеет комплексные корни. Тогда собственные векторы будут иметь комплексные составляющие. Можно показать, что если матрица эрмитова, то собственные значения действительные и симметричная матрица, представляя собой частный случай эрмитовых матриц, имеет действительные собственные значения и собственные векторы.

1.6. Приведение матриц к диагональному виду

Для квадратной матрицы А часто бывает необходимо найти, если это возможно, другую квадратную матрицу Р такую, чтобы выполнялось матричное уравнение

р-1АР=А (1.18)

(см., например, § 3.4). Здесь Л представляет собой квадратную матрицу diag (Jt, . . , ?t ), где X . . .,кп являются п собственными значениями матрицы Л.

Из предыдущего параграфа следует, что матрица Р является такой, столбцы которой с 1-го по п-й представляют соответственно собственные векторы в, . . ., в . При условии, что Р~ существует, уравнение (1.18) выполняется и его можно написать в виде

АР = РА. (1.19)

Пример 1.4. Для матрицы А в примере 1.3 матрицей Р, приводящей А к диагональному виду по уравнению (1.18), является такая матрица, столбцы которой составляются векторами Bi, 2 и Вз, определяемыми в примере 1.3. Таким образом,

1 1 Г

легко показать, что

РАР =

-2 4

О -2 О

Если собственные значения ki матрицы А являются различными, то матрица Р, построенная, как показано вьш1е, является неособой.

Чтобы показать это, предположим, что Р = О, тогда в соответствии с результатом § 1.4 столбцы Р являются линейно зависимыми. Поэтому можно написать

Sc£B. = 0 (1.20)

для некоторых постоянных с . . ., с , не все из которых равны нулю.

Если обе части соотношения (1.20) предварительно умножить последовательно на /, А, А, . . ., Л ~\ то из выражения (1.19) следует, что

S Cii>{ = 0; 1=1

5] CtlfOi = 0;

В,- = 0.

(1.21)

Пусть вектор имеет составляющие v, . , ., тогда для получения нетривиального решения для этих составляющих (что подразумевается условиями задачи) мы должны иметь

ifi-1

= 0.

(1.22)

Однако известно, что приведенный выше определитель Вандермонда можно выразить в виде Г1 (i- t) [12], и,следовательно, он может равняться нулю в том и только в том i<t </ <n

случае, если Xj = Xi для какого-то / =]= i. Так как наше первоначальное предположение отвергается, то I Р I О и, следовательно, Р является неособой.

Если X не различные, то нельзя больше гарантировать возможность нахождения Р, которая приводит матрнцу А к диагональному виду с помощью уравнения (1.18). В этом случае, можно найти неособую матрицу. Р, которая приводит А к жордановой канонической форме Лу т. е. Р~АР= Aj, где Aj определяется уравнением (2.25) *.

Выражение

1.7. Квадратичные формы

п п

CI.23)

включающее в себя члены второй степени по Xi и Xj, назьшается квадратичной формой п переменных.

При этом квадратичную форму можно компактно выразить в векторно-матричной форме следующим образом:

(1.24)

2 + *21

km + V

kin -h km

(1.25)

Квадратичная форма считается положительно (отрицательно) определённой, если д = О для х= Ои О (q<iO) для хфО, Она считается положительно (отрицательно) полуопределенной, если д = О для х= О и дО (q.0)для х 4=0.

Проверка положительной определенности квадратичной формы обеспечивается, следующей теоремой [12], [56].

Теорема 1.2. Квадратичная форма q (х) = xQx является положительно (отрицательно) определенной в том и только в том случае, если все п определителей \Qi\, . . ., \Qn \ положительны (отрицательны), где

h\=-\giiU 1 ?2 =

9l2 922

\Qm\\[qii]\;

t = 1, . . ., Ш:

/=], .. .,

712 713 йг 923 Qis 923 933

1<?п1 = 1<?.

(1.26)

* Исключением из-этого является случай, когда матрица А коммутирует с результатом своего транспонирования (т. е. АА = АА). Подобную матрицу можно всегда привести к диагональному виду с помощью р-АР. Частным случаем этого является симметричная матрица.