1.8. Теорема Кэли-Гамильтона

Важным результатом в теории матриц является теорема Кэли-Гамильтона.

Теорема 1.3. Пусть f (К) = О представляет собой характеристическое уравнение произвольной квадратной матрицы А, тогда f (А) = О (т. е. А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению).

Эту теорему можно достаточно просто доказать для различных собственных значений, так как известно, что в этом случае можно найти такую неособую матрицу Р, что Р~АР = Л или АР = РЛ. А это означает, что путем последовательного предварительного умножения на А, А, . . ., А получим АР= РА?, . . ., А Р = РА .

Отсюда для любого полинома g (х) = а,-х имеем g(A)P= Pg (А). В частности, это

относится к характеристическому полиному

/(Л)Р = РИЛ). (1.27а)

Однако

f(A) = diag{f{h).....f(Kr)) (1-276)

и f ii) = О для каждого i. Отсюда из выражения (1.27а) следует, что раз Р является неосовой, то f (А) = 0.

Доказательство для общего случая см. в работах [12], [56].

1.9. Некоторые полезные соотношения

1. Некоторые матричные тождества

Читатель, возможно, захочет проверить следующие матричные соотношения: АВ... MNf = NM .. . А;

АВ . . . MNY = N В А~, если каждая из обратных матриц суще-

ствует;

в) \АВ .. . MN\ = \A I В . ..1ЖЛГ;

г) для матрицы размера и X и, подвергнутой разбиению на

C\D\

трица размера т У. т, я. D - матрица размера (п - ш) X (и - т), имеем

, где Л - ма-

т х(п-т)

-сл-1

(п-т)хт,{0-СА-Щ- Здесь Oj представляет собой матрицу размера л X s, состоящую целиком из нулей.

2. Вычисление определителя матрицы высокого порядка

Для нахождения определителя матрицы высокого порядка (например, п> 10) приходится затрачивать очень много машинного времени, если использовать формулу разложения Лапласа, приведенную в § 1.2. В этом случае можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 1.4. Определитель матрицы остается неизменным, если к элементам любой строки (столбца) k раз добавить соответствующие элементы любой строки (столбца).

В соответствии с теоремой 1.4 определитель матрицы можно преобразовать в треугольную форму, в которой все элементы вьше (или ниже) главной диагонали равны нулю. По формуле разложения Лапласа значение определителя треугольной матрицы определяется произведением элементов главной диагонали.

3. Определение аналитических функций от матриц

Пусть к - -. Ki представляют собой собственные значения квадратной матрицы А порядка п. Эти собственные значения соответствуют различным собственным векторам единичной длины В 2, - - -> и матрицы А и пусть и и , Чп представляют собой различные собственные векГоры единичной длины матрицы А. Можно показать, что квадратные матрицы и.ю, называемые спектром матрицы А, имеют ранг I и являются идемпотентными, т. е.

VijUj =-BfUl для каждого t и для Л = I, 2, . . . . , . (1.28)

Далее, для любого полинома Р (х) имеем

Р (А) = Viu\P + ulP + . - + [К].

(1.29)

и для любых аналитических функций F {А), которые определяются с помощью тех же степенных рядов, как это имело место соответственно в скалярных функциях (например, е*), имеем

F(A) = vu\F (i) + ify (Я2) -Ь -Ь vuF (Я ) (1.30)

всюду, где этот ряд сходится для каждой из Xi *.

Если собственные значения А не являются различными, то можно использовать следующее расширение формулы Коши:

f (г)(2/-Л)-М2, (1.31)

f (Л) =

Z - комплексная переменная;

G - граница области (не обязательно односвязная) в комплексной плоскости, содержащей все собственные значения Л**.

3 27

имеет собственные значения к = 5, 2 = ! Здесь

Пример 1.5. Матрица Л =

= =

.2 3. 1

Y2 Li

Отоода спектр матрицы имеет вид

i i =

При наличии этого спектра матрицы и использовании уравнений (1.28) и (1.29) очень просто вычислить такие величины, как Л, Л *, е , cos At. В соответствии с соотношением (1.28)

Л2з =

л-1 =

в соответствии с выражением (1.29) имеем

1 1

co&At =

cos 5 +

cos.

* функции от матриц можно определить аналитаческим продолжением функций от собственных значений.

** Предполагается, что F (г) является аналитической в области, ограниченной множеством Q, которое состоит из конечного числа замкнутых кривых. Эта область обходится в положительном направлении по границе Q и включает собственные значения.

Пример 1.6. Матрица А =

1 1 О 1

имеет только один собственный вектор (покажите это). Чтобы найти необходимо использовать формулу (1.31), в результате чего получим

1 2я/

(1 г) (l~zf 1

I -г

dz =

4. Вычисление коэффициентов характеристического уравнения

Для работы на цифровой вьнислительной машине, способной выполнять операции с символами, применяют следующий метод.

Пусть характеристическое уравнение имеет вид

IЛ -UI = (-1) QJ -Ь а,?. -1 + аГ- + -..+ ),

тогда

а, = 1гЩ; аа = -[ 1Тг(Л) + Тг(Л2)]; - fl3 =--.KTr()-bfliTr(42) + Tr(3)];

=--- Tr (Л) + fl 2 Tr U) +.;..+ a, Tr + Tr U )].

(1.32)

(1.33)

5. Вычисление обратной матрицы с помощью коэффициентов характеристического уравнения

Если характеристическое уравнение матрицы А выражается с помощью приведенного Bbmie выражения (1.32), то ,

И 1= (-!) ;

. adj Л = (-1) +! [Л + М - ++ а 2А + Wl-

adi

(1.34)