Из этих уравнений видно, что для О < Фтах установившаяся скорость электродви-тателя не зависит от момента нагрузки *. -В этом состоит основное требование, предъявляемое к системе электродвигатель-генератор . В области 7 <С О последняя система оказьшается разомкнутой. Если 7тах> то-достигается область насыщения кривой намагничивания и установившаяся скорость электродвигателя зависит от параметров нагрузки dub.

Отсюда следует, что длятого, чтобы система удовлетворяла заданным условиям в допустимой области изменения параметров нагрузки Ь и rf, должно вьшолняться соотношение О <С 7 <СФтах- Если оно выполняется, то система будет иметь три положения равновесия, определяемые уравнением (5.35а).

Теперь можно приступить к анализу устойчивости в малом этих положений равновесия. -Здесь il = Фшах- Пусть

i = ie + 6t; t = + V= Ve+ 8v. (5.36)

Заметим, что при < Фтах малых б-ф из кривой намагничивания следует б-ф = бг. Учитывая это при подстановке в уравнения (5.35а) и (5.32) и пренебрегая произведениями малых величин, получим линеаризованные уравнения, справедливые для малых сигналов.

Итак,

{Т+Те)Р Не -2ie b + Tjpj

(5.37a)

чхри

ie=±y d+-{M~a)+0; Ve = -(M~a)

(5.376)

три ie= 0; Ve=- -y, где, как и раньше, р - оператор .

Характеристические уравнения для систем (5.37а) и (5.376) равны соответственно

Tj Tj (Т+Те)

1у \ Г . b

(5.38а) (5.386)

T+TeJV Tj

Поскольку все величины: , Т и Tj положительны, то уравнения (5.38а) и (5.386) опре-

(2 ттттгттт. TTI-1 п TT/-V тт*-.-ч1?-лгтТТгп Г\ лглтлгюоТЛгт ттг\тл - -!- t/ 1Ч 71 - . \

Л,еляют при о < 7 < фах лишь два положения равновесия при = ± Yy; = -щ

каждое из которых:

а) либо устойчивый узел при Ь (Т -Ь Те) STjv;

б) либо устойчивый фокус, если Ь (Т -f Те) < STjIy;

в) либо центр, если b (Т -\- Те) = 0.

Из уравнения (5.376) также следует, что существует единственная седловая точка при ie = 0; f =--. Более того, из уравнений (5.356) и (5.38) при 7 <С О следует, что при ie = О

и щ=-- имеем устойчивый узел.

В качестве системы, линеаризованное уравнение которой имеет собственное значение с нулевой действительной частью и, следовательно, не опреде-.ляет устойчивость, рассмотрим пример.

Пример 5.10. Система первого порядка имеет уравнение х = kx , m = 2, 3, . . ., которому соответствует тривиальное линеаризованное уравнение Ьх = 0. Собственное значе-

* Установившийся момент вращения определяется величиной d -j- bv.

ние, соответствующее этому уравнению, равно нулю, и первый метод Ляпунова неприменим. Легко видеть в результате элементарного интегрирования, что начало координат системы х= kx при /ге>> I (асимптотически) устойчиво, если только О и /те нечетно, и неустойчиво, если т четно или т нечетно, но й>> 0. Таким образом, действительное движение системы нельзя определить, используя линеаризованное уравнение.

Основной недостаток метода линеаризации заключается в том, что даже в тех случаях, когда первый метод Ляпунова применим, мы можем лишь получить достоверные сведения о поведении системы в некоторой малой области положения равновесия, размеры которой неизвестны. Поэтому для оценки области, в которой справедливы линеаризованные уравнения, приходится обращаться к инженерной интуиции, а иногда к моделированию системы или другим средствам.

5.5. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРАЕКТОРИИ. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И АНАЛИЗ ОШИБОК

Изложенную выше методику линеаризации относительно положения равновесия можно без труда обобщить, проводя линеаризацию относительно некоторого решения или траектории системы. Этот прием с успехом применяется, например, в задачах космической навигации, когда известна расчетная траектория космического корабля. Линеаризовав исходные уравнения, оказывается возможным определить управляющие воздействия, которые будут удерживать космический аппарат вблизи расчетной траектории. В то же время анализируя полученные линеаризованные уравнения, можно оценить влияние ошибок при задании начальных условий и параметров объекта; в дальнейшем, если это необходимо, можно найти коэффициенты чувствительности.

Если такие задачи при анализе не ставятся, то проблема теряет смысл. Отметим также, что возникающие при линеаризации линейные уравнения, как правило, нестационарны, так что точных решений получить не удается, и поэтому требуется использовать вычислительные машины для отыскания переходной матрицы и других показателей. Кроме того, имеющиеся теоретические результаты исследования линейных нестационарных систем, с одной стороны, немногочисленны, а с другой - сложны в приложениях и требуют введения понятия равномерной асимптотической устойчивости. Наконец, и это самое главное, в случае нестационарной системы надо постоянно помнить о степени малости, задавая себе вопрос, достаточно ли малы изменения переменных и остаются ли последние в области, где линеаризованные уравнения справедливы. Если возникают какие-либо сомнения, то решения линеаризованного уравнения должны непрерывно сравниваться с численным решением первоначального нелинейного уравнения.

Рассмотрим нелинейную нестационарную систему общего вида

x = f(x,u,t). (5.39)

Предположим, мы сумели найти частное решение этой системы Xi (Ui (t), t; Хо, to), обозначаемое впредь через х (t). Частное решение, обусловленное управлением (t), можно отыскать аналитически либо численными методами. Теперь рассмотрим, как влияют малые возмущения по переменным л: или и (или же по обеим вместе) на движение системы. Пусть, как и прежде,

X (t) = Xl (t) + 6х (ty, и (t) = ui (t) + 6й (0; x{t) = xi{t)-h8x{t)

(5.40)

и / (х, и, fj непрерывно дифференцируема по переменным х и и. Тогда из уравнения

Хг (О + 6. (О = / (л:, + 6х, Й1 + 6й, t), (5.41)

ограничиваясь при разложении выражения в правой части лишь первыми степенями бл: и би и вычитая опорное решение, удовлетворяющее уравнению

Хг (О = / (1 (О, 1 (О, О,

получим

6i = (Jfi, Их, о 6л: + -(-1. 1. t)bu-{-h {Хг, Й1, бл:, би, ), (5.42)

определяются матрицами Якоби

-(Xi, 1, О

xU)=x, it) a{t)=u, it)

и {t)=u, it)

(5.43)

(5.44)

a выражение h (x, i, бл:, би, t), или сокращенно h (бл:, би, t), как и прежде, представляет остаточный член.

Отметим, что матрицы Якоби дх да шис-ленные вдоль траектории л: (О = х (t) и u{t) = (t), не зависят непосредственно от л: (О и и {f), но являются функциями времени t *.

Поэтому введем следующие обозначения:

df /.чА df , ... df df

Тогда уравнение (5.42) перепишется в виде

б.: = -(Обл:-

(t) ЬпЛ-h (бл:, би, t).

(5.45)

Допустим, h таково, что условие

lim А(8=. lim -iO

би U- о

\Ьх\\

бл II -> о би О

(5.46)

* Рассматриваемые матрицы Якоби не зависят от времени, если во-первых, система стационарна и, во-вторых, частное решение Хх (О не зависит явно от времени. При таком подходе изложенное в разделе 5.3 можно рассматривать как особый случай, связанный с линеаризацией системы стационарных уравнений относительно частного решения Хх (t) = Хе-