Эти п -\- г уравнений вместе с п уравнениями системы (13.81) и условием (и) = О дают 2п + г + 1 уравнений для 2п + г -\- \ неизвестных х, . .,

. . ., x ; ajji, . . ., 4l5 ; и,.....и, я 1.

Если - неявная функция времени, то в соответствии с уравнением (13.18) имеем условие вида

~ Xi = const,

(13.86)

которое сводится к следующему:

-L + S ipifi = const.

(13.87)

2) Условие Лежандра - Клебша существования минимума .функционала /

UiUj

(13.88)

3) Условие Вейерштрасса. Из выражений (13.33), (13.84) и уравнений (13.85) найдем

-L (л:*, *, t)+t (л:*, *, t) - ( *)

: -L {X*, и, t) -h I] (л:*, и, t) - Ц (и).

(13.89)

Это означает, что и* должно выбираться так, чтобы величина Н =

= - L + %/j - достигала максимума в каждой точке оптимальной 1=1

траектории. Последнее в предположении, что функция Я дифференцируема, означает, что в каждой точке оптимальной траектории должно вьшолняться следующее условие;

= 0; ...,г. (13.90)

Уравнения (13.90) соответствуют последним г уравнениям Эйлера-

Лагранжа (13.85). Кроме того, требование -q Д условие

Лежандра-Клебша.

4. Условия трансверсальности. Если функции Р и р не зависят от конечного времени t, то, положив = Р + ар (где а - постоянный множитель), получим условие трансверсальности при

t=ti

Когда P и p зависят от t, выполняется условие

/. n \ n

dL, -X, dL,

8R +

L2 +

= 0.

(13.91)

(13.92)

где б/? = бесконечно малых вариаций bxi и

Ы с учетом р [л: (2). 21=0 (покажите это).

Теперь обратим внимание на одно важное граничное условие, вытекающее из условия трансверсальности (13.91). Для класса задач, где Z. = О и Р не зависит от и где конечная точка должна лежать на поверхности р (л:) = = О, имеем

при =

Если теперь ф,. = х,- - /,-, то имеем

,,=-~t- (13.93)

Это означает, что градиент функции р (л:) должен указывать направление, противоположное к вектору {t. Говоря другимисловами, для этого класса задач граничное условие таково, что (t) перпендикулярно гиперповерхности р (л:2)-

Примером этого класса задач являются задачи, оптимальные по быстродействию. Теперь рассмотрим конкретный пример.

Пример 13.5. Допустим, при преследовании, реактивный самолет (см. пример 13.4) должен переместиться из точки [х (0), г(0)] в безопасную область, заданную уравнением р {х, г) = О, за минимальное время t. Найдем граничные условия, необходимые для решения задачи.

Начальные условия х (0), г (0), v (0), у (0) и w (0) предполагается заданными, тогда из выражения (13.73) имеем fi (0) = 0. Уравнения (13.74), (13.75) и (13.77) должны также выполняться, а это означает, 4toiJji и iJJa - постоянные величины. Первое слагаемое уравнения (13.68) по-прежнему имеет силу, так как р не зависит от времени. Таким образом, условие (13.79), вьшолняется. Второе слагаемое нуждается в изменении, таккак должно удовлетворяться условие (13.93). Это означает, что выполняются условия (13.78), так как р не зависит от переменных V, у, W и ц; кроме того, имеем уравнения tJji (i*) = {dp/dx); фа {i*) = -(dp/d?), которые позволяют оценить относительные значения постоянных i-, и TjJa-

Рассмотренное выше позволяет получить одиннадцать граничных условий для одиннадцати переменных задач.

13.5. ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ

Часто встречаются задачи, в которых на управляющее воздействие и {t) наложено ограничение вида -U и U при U, U > 0. Приближенно эти ограничения можно учесть, вводя соответствующие функции штрафа; точный подход учета таких ограничений разработан Валентайном [193].

1. Метод функций штрафа

Идея метода функции штрафов заключается во введении таких дополнительных членов в минимизируемый показатель качества, которые при нарушении ограничений, наложенных на управляющие воздействия, приводят к существенному увеличению значения функционала. После того как такие члены введены, задача оптимизации решается без учета ограничений.

В качестве примера рассмотрим задачу, в которой траектория для х = = / (л:, и, t), соединяющая х и х, должна быть найдена так, чтобы мини-

мизировать показатель качества f = (х, и, t) dt. Допустим, един-

ственное управляющее воздействие и (t) должно удовлетворять ограничению -1 < ы < 1.

При образовании функции штрафа рассмотрим новый показатель качества

f = f + \j{u)dt.

где g- (и) - функция штрафа: малая, если ы (/) < 1, и значительная при [ ы (О I > 1. После этого ищется решение, которое минимизирует функционал fl уже без учета ограничений.

Метод функций штрафа особенно полезен в некоторых численных схемах нахождения оптимальных решений, которые рассматриваются в гл. 17.

2. Метод Валентайна

В 1937 г. Валентайн [193] показал, что введение некоторых дополнительных переменных преобразует ограничения типа неравенств, налагаемых на упраьляющие воздействия, в ограничения типа равенств *.

Допустим, что в системе х = f (х, и, t) содержится г компонент v / = 1, . . ., г, на каждую из которых наложено ограничение вида

~и] < Uj < Uj-, Uf, Uj 0. (13.94)

Последние можно преобразовать в совокупность ограничений типа равенств, если ввести г дополнительных переменных Vj (t); j = I, . . ., г и предположить, что в каждый момент времени t, t выполняется условие

(Щ {t) + Uj) {Uj - и (0) -V? {t) = 0. (13.95)

Здесь Vy (t) - переменная, которая стремится к нулю, если Uj (t) достигает любого из своих пределов - Uj или Uj. Когда Uj (t) располагается между этими пределами, переменная (t) является конечной величиной. Например,

при Uj (t) = О Vj (t) имеет величину [/ tZ/t/y.

Поскольку функции Vy (t), определенные по соотношению (13.95), образуют ограничения типа равенств, то найти уравнения Эйлера-Лагранжа не представляет труда. В частности, можно ввести г дополнительных переменных х г+ъ -, Xn+ir таких, что

W = / (0. 1=1, г. (13.96)

Кроме того, можно определить г величин t,j (uj) в виде

Wi) = (.i4{i) + Uj){Uj-Uj{t))-vj{t)=0, /=1.....г. (13.97)

Эти величины аналогичны величинам t, (и), рассмотренным в предыдущем параграфе.

Таким образом, можно ввести в дополнение к обычным п множителям Лагранжа ipi {t), . . ., \р (t), другие г множителей (t), . . ., (О и образовать функцию

* Как показано в следующей главе, ограничения типа неравенств, налагаемые на управляющие воздействия, легко учитываются при использовании принципа максимума. В этом случае нет необходимости во введении дополнительных переменных. В обзоре [40] указывается другой возможный метод рещения этой задачи.