решение существует. Тогда процедура нахождения первого необходимого условия относительно проста.

Допустим, что минимизирующая функция х (t) найдена. Рассмотрим теперь любую непрерывно дифференцируемую (почти всюду) функцию ц (/) со свойством 7] (ty) = т] (2) = О- Сформируем функцию х (f) + ет] (t) с параметром е, которая удовлетворяет прежним граничным условиям и, следовательно, принадлежит классу функций, среди которых имеется функция, доставляющая слабый локальный минимум для функционала f ).

Для такой функции функционал f принимает следующее значение:

f{e)= f L (x + 81, x+ er) dt

(13.7)

Если X (t) была минимизирующей функцией, то, по определению, / (е) будет больше, чем минимально возможная величина, за исключением случая, когда 8 = 0. Кроме того, при данных условиях / (8) будет дифференцируема по 8. Таким образом, / (е) имеет точку стационарности при 8 = 0. Эти рассуждения приводят к уравнению (12.12), поэтому можно записать

df(E)

= 0.

(13.8)

Оптимальная функция х* (f) может быть найдена только среди решений, удовлетворяющих условию (13.8).

Пусть X (t) = X (f) + et] (t) и X (t) = X (t) + Щ (t). Дифференцируя правую часть выражения (13.7) и подставляя е = О, с учетом (13.8) получим

t,

дЬ дХ , dL дХ

df(E)

дХ де

dL дх

Т1 +

dL дх

dtO.

(13.9)

Интегрируя по частям, найдем

=: 0 =

dL дх

nit)

Так как т] (ty) = т] (2) = О по определению, то первое слагаемое в правой части (13.10) равно нулю и, следовательно, остающийся интеграл должен равняться нулю для всех функций г] (t). Далее, можно показать, что выражения в скобках должны также равняться нулю ). Это приводит нас к уравнению Эйлера-Лагранжа

Отметим, что для каждой величины е функция х (f)-{- щ (/) определяет слабую б-окрест-ность, где 6 == max (ет) (/); ет) (i)).

2) Так как выражение (13.10) должно выполняться для каждого выбора функции т) (f), то можно ее взять такой, чтобы она имела тот же знак, что и величина (dLldx) - d (dLldx)ldt для всех t. При таком выборе интеграл в выражении (13.10) положителен и может бьггь равен О только в случае, если выполняется условие (13.11).

уравнение (13.11) и есть первое необходимое условие оптимальности ,.в рассматриваемой задаче вариационного исчисления.

Отметим, что в тех случаях, когда функция явно не зависит от перемен-йой t, справедявБО следуюш,ее условие:

L----- х\ = X

I дх

Принимая во внимание уравнение (13.11) вдоль оптимальной траектории X* [t), получим следующее соотношение

- х = const (для L,явнd не зависящих от/). (13.12)

Пример 13.1. Найдем функцию, удовлетворяющую граничным условиям х (0) = О, X (1) = 1 и уравнению Эйлера-Лагранжа (13. П) для функционала

в этом случае L = ~ ; -я= О и уравнение (13.11) сводится к виду d (dL/dx)/dt = О, X X

откуда dLldx = const. Так как dLldx = -(л;) , то х= k, где k ~ постоянная. Таким образом, х= kt-\- X (0). Граничное условие выполняется при ft = 1; поэтому решением является прямая линия х = t.

Если в описании задачи участвует несколько переменных, то функция L в выражении (13.6) имеет вид

Z. {x-j - ., x-j * - , Xf, f) и

f = \ 1{Хг, x ; хг, ..., i ; t) dt. (13.13)

Допустим, что функГция L непрерывно дифференцируема вместе со своими производными до второго порядка включительно по каждому из своих аргументов. Определим п произвольных функций т],. {t), i = \, . . ., п, удовлетворяющих условию т],- {t = y\i (t) = О, и рассмотрим вариацию относительно оптимальных функций Xj (t) и Х{ (t). Введем функции

Xi (t) = Xi (О + 8т], it), К it) - Xi it) + ei- it).

i = 1, . . ., n

(13.14)

г = 1, . . ., n;

и подставим их в интеграл (13.13). Уравнение (13.8) по-прежнему определяет первое необходимое условие оптимальности. Применяя это условие, получим следующее выражение:

2 п

df{e)

(13.15)

Для каждой функции Xi интегрирование по частям дает выражение, подобное (13.10), т. е.

п t, п

dL d i dL

i=i t, =1

dt dx

(13.16)

Заметим, что, во-первых, выражение (13.16) должно выполняться для всех возможных rij, и, в частности, оно будет справедливо, когда все т], за исключением, например, ту, взяты тождественно равными 0.-Во-вторых, j-e слагаемое в выражении (13.16) должно быть равно О при любых г\,- (t), так как т (tj) = rij (t) = 0.-Данные замечания приводят нас к уравнениям Эйлер а-Л агр анжа:

\dx.

= 0, 1=1,

(13.17)

эти уравнения выполняются в любой точке оптимальной траектории.

Если L не зависит от t, то вдоль оптимальной траектории, согласно условию (13.1.2), имеем

L- >;, = const. (13.18)

3. Разрывы и условия скачка

Проинтегрируем каждое из уравнений (13.17), тогда получим уравнения Эйлера-Лагранжа в интегральной форме:

dL dxi

= fd/ + Q; -=1,

J dXi

(13.19)

где Cl - постоянные интегрирования.

Выражение (13.19) справедливо даже для траекторий х (t), которые имеют конечное число точек разрыва функции х (t) *. Таким образом, несмотря на то, что выражение (13.19) имеет то же самое назначение, что и уравнения Эйлера-Лагранжа, однако оно обладает более широкой областью применения.

Точки, Б которых производная X (t) разрывна, в вариационном исчислении называются точками излома. Большинство известных результатов было получено для траекторий с конечным числом точек излома.

Существует два основных условия, которые должны удовлетворяться вдоль оптимальных траекторий. Они известны как условия Вейерштрасса- Эрдмана для точек излома.

Первое условие следует непосредственно из уравнения (13.19). Так как его правая часть непрерывна в точке излома, то отсюда следует, что левая часть также непрерывна. Следовательно, если t = % является точкой оптимальной траектории, на которой встречается точке излома, то для одной или более координат Xi имеет место условие

k=l.

(13.20)

Второе условие * состоит в том, что в точке излома хи (т) оптимальной траектории имеем

dL d\

t=t~

dL dxi

(13.21)

* См., например, работу [156]. Конечно, между точками разрыва x(i) уравнения Эйлера- Лагранжа также выполняются.

** См. работу [156]. Это условие станет очевидным, когда будет изучен принцип максимума (гл. 14).