Из выражений (8.64) следует, что С* (/со) - s (е ) = (-1) и Я* (/со) = (-1); следовательно, выражение (8.63) можно переписать в виде

or г

(0)]+/[2Ш*(/ )-Уо(оо)].

H- = [G*(/co)-

Тем самым получена искомая формула.

Условия переключения (8.45) можно переписать в виде

щг- [G* (/со) - g (0+)] < 0; wn- (/со) - у, (оо) = -е.

(8.65)

(8.66)

8.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Метод Цыпкина можно распространить на случай анализа вынужденных колебаний релейных систем. Напомним, что вынужденные колебания существуют независимо от других видов колебаний, например автоколебаний или субгармонических колебаний, и их надо исследовать отдельно.

Рассмотрим снова систему управления, изображенную на рис. 8.1. Но в этом случае будем считать, что г (/) имеет следующий вид:

г (О = г, (сОо/ - Ф), (8.67)

где (соц/ - Ф) - периодическая функция с периодом , абсолютная

величина которой меньше или равна постоянной А. Имея это в виду, найдем

е it) = г (соо -Ф)-у (t). (8.68)

Если реле не имеет зоны нечувствительности, то для получения сигнала

и (t) в виде периодической функции с периодом условия переключения

периодической функции е (t) должны подчиняться выражению (8.13 а). Итак, имеем

Чтобы пользоваться функцией Цыпкина, запишем выражение

(jt - Ф) = (л - Ф) + jr (я - Ф) (8.70)

ReJ(co)

Рис. 8.10. Определение вынужденных колебаний по годографу Цыпкина для реле без зоны нечувствительности

и одновременно выражение

i) = --k-y{-)~iyr{)- (8-71)

Объединяя выражения (8.70) и (8.71), получим новые условия переключения в виде

Im (я - Ф) + / (Шо)] = -е; Re [/? (я - Ф) + У (соо)] < 0. (8.72)

Условия, записанные в форме (8.72), позволяют пользоваться следующим графическим построением. Построим, как и раньше, годограф J (со), затем построим кривую R (п - Ф) в зависимости от Ф. Если кривая R {п - Ф) у точки J (сОо) пересекает линию - е левее оси Im J (со), то в системе возникают вынужденные колебания. Соответствующее построение показано на рис. 8.10.

Кривая R {п - Ф) строится по формуле (8.70) и представляет собой фигуру Лиссажу для входного сигнала (t). Типичная кривая R {я -Ф) для треугольного сигнала на выходе реле (рис. 8.11, а) показана на рис. 8.11, в. При синусоидальном сигнале г (t) кривая R (п - Ф) является эллипсом. При более сложной форме сигнал а на выходе реле кривая R (я-Ф) может пересекать себя.

Рис. 8.11. Виды сигналов на выходе реле и типичная кривая J? (я - Ф):

а-треугольный сигнал; б-прямоугольный сигнал; в-кривая {П-Ф)

При анализе вынужденных колебаний необходимо различать несколько случаев, которые поясняются рис. 8.12, а-д. Рис. 8.12, а показывает, что в системе управления нет вынужденных колебаний, однако могут быть другие виды колебаний. Рис. 8.12, б показывает, что возможны два вида автоколебаний, соответствующих двум различным величинам фазового угла Ф. Сле-

Im3(u})

Рис. 8.12. Различные случаи расположения годографа Цыпкина и кривой JR (л,-Ф) для определения вынужденных колебаний:

а - вынужденные колебания отсутствуют; б - два вида вынужденных колебаний; в- вынужденные колебания с различными амплитудами; г - вынужденные колебания с большой амплитудой

дует заметить, что только в одном случае колебания устойчивы (см. следующий параграф). На рис. 8.12, в кривая R (п - Ф) касательна к прямой -е, это соответствует минимальной амплитуде входного сигнала, при котором возникают вынужденные колебания. Рис. 8.12, г соответствует такому расположению кривых, когда годограф R {я - Ф) пересекает линию-е, касаясь мнимой оси. Рис. 8.12, д соответствует случаю, когда амплитуда вынужденных колебаний является большой и тем не менее возникают колебания одной частоты.

Все сказанное выше нетрудно распространить на случай анализа системы управления, включающей реле с зоной нечувствительности. Здесь условия переключения будут следующими: -

Im IR (jt - Ф) + Jl (cDo)] = -e; Re [R (я - Ф) + у, (© )] <0;

Im IR iyn - Ф) + (coJ] = Я; Re [R {ук - Ф) + у, (© )] <0. j >

Сущность графического построения заключается в том, чтобы построить кривую R [п - Ф) при частоте ©о и кривую У1 (со) для каждого у и проверить, удовлетворяет ли кривая R (п-Ф) двум первым условиям (8.73).

Далее строим кривые R {ул - Ф) на частоте о и У2 (со) для каждого ©о и рассматриваем, удовлетворяет ли кривая R {уп-Ф) вторым двум условиям (8.73). Если существует ряд значений -у, которые одновременно удовлетворяют всем четырем условиям (8.72), то в системе возможны вынужденные колебания.

8.7. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Устойчивость колебаний, автоколебаний и вынужденных колебаний может быть исследована на основе применения теории возмущения к периодическим движениям. Значительный интерес представляет тот факт, что полученная в результате такого приближения система является импульсной системой, устойчивость которой анализируется хорошо известными способами. Эти важные результаты также были получены Цыпкиным [191].

Вполне естественно, что систему управления можно представить импульсной, когда к ней прикладываются малые возмущающие сигналы. Это происходит потому, что малые возмущения вызывают положительные и отрицательные пульсации, которые в пределе можно аппроксимировать импульсами.

Рассмотрим реле без зоны нечувствительности; предположим, что g (0) = = О, ft. (0) = О и функции g (t) и h (t) всюду непрерывны*.

Предположим, что в системе существуют установившиеся периодические колебания с заданными (t), е (/), и (/) и (t). Рассмотрим малые возмущения Ьг (t), be (f), Ьи {t) и by (t) соответствующих функций (рис. 8.13, fi, б). Разность между возмущенными и (t) и невозмущенными {i) колебаниями показана на рис. 8.13, е. Как видно из этого рисунка, она состоит из отдельных прямоугольных импульсов, приложенных в моменты

времени, близкие к / = (п = О, 1, 2,. . .), причем = 0.

Если бе (/) - О, то эти импульсы можно считать возникающими в моменты времени t = .

Для получения зависимости, связывающей с бе вос-

пользуемся тем, что переключение реле с (-) на {+) может произойти в соответствии с рис. 8.14, fi, а переключение в обратном направлении произойдет по рис. 8.14, б. Ширина импульса бы (~- обозначается через бт (-) и приблизительно равна

* Если G (р) - рациональная функция, то это значит, что число полюсов должно быть, по крайней мере, на два больше числа нулей.