неподвижная точка может быть найдена с помощью итерационной процедуры. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 11.9 (теорема о неподвижной точке сжатых отображений). Если оператор является оператором сжатия, определенным на банаховом пространстве ЧУ, то

1) существует единственный элемент f * множества , удовлетворяющий условиям

<Sv* = у*; (11.92)

2) последовательность у, v, , . ., задаваемая правилом

Vnx = Vn (п = О, i; , . .), (11.93)

сходится к V* при любом начальном выборе ьшЯУ;

3) норма II Vn - f * II ограничена: .

Ьп--\~Г\9<~Щ\- (11.94)

Доказательство уеоремы проводится непосредственно, так как для любых чисел пит при т имеем

II Vn II = II f о - 9-Vo II < р II v -Vo II р i II Vo-Vi II + II v-v II + +

+1 Vrru-n - Wi 11 < P 11 0 - I {1 -f P + + + P -i < llto- v,l

. <TIIPo-oll- - (11-95)

Таким образом, получено неравенство (11.94). Предел S Vo при п -> оо существует в силу полноты банахова пространства. Заметим, что найдется, по крайней мере, одно предельное значение для каждого выбора v . Пусть vl является таким предельным значением, тогда видно, что

gvl = lim S Vo = ,9 lim t) = lim t) +i = v].

п~> CO n-> CO n-> CO

Таким образом, является неподвижной точкой для преобразования S. Чтобы показать единственность неподвижной точки v*, предположим, что существуют две различные неподвижные точки v* и у*. Тогда можно записать

Ivl-vlWISvl-vlWplvl-vVi. . (11.96)

Если норма Ijfi -f2 не равна О, то уравнение (11.96) означает, что норма меньше самой себя, а это невозможно. Таким образом, vl = V2, и существует единственная неподвижная точка.

Если оператор сжатого отображения существует только в некоторой окрестности элемента из банахова пространства, то имеем следующую теорему, обратную теореме о неподвижной точке сжатых отображений.

Теорема 11.10. Если условие (11.91) выполняется только в окрестности II у - foil < г элемента Do из банахова пространства, то теорема 11.9 верна лишь при условии, что р удовлетворяет следующему неравенству:

t;o-t;oi<(l -Р)Д-. (11.97)

Теоремы 11.9 и 11.10 не только определяют условия существования единственного решения функционального уравнения = d, но и гарантируют сходимость итерационной процедуры получения решения. Приведенные вьш1е теоремы широко используются ввиду их наглядности, в чем можно убедиться на следующих примерах.

Пример П.8 (доказательство теоремы 3.1). Система (3.3) может быть записана в интегральной форме:

л; = JJo + J / (JC (т), т) dr. (11.98)

Вводя норму следующим образом

\\x(t)\\= max

to-Ctto+C

можем определить

M = maxl/(x(q, oil-Принимая О < p <c 1> определим, что значение константы а в теореме 3.1

(11.99)

a=min{c,A(i p), P ,

где k - постоянная Липшица.

Теперь имеем банахово пространство непрерывных вектор-функций JC (t) на интервале (t - io) ас нормой, определяемой выражением (11.99). В этом пространстве рассмотрим оператор S следующего вида:

S [x (f)] = хо+\ (х (т), т) dt. (11.100)

Возьмем в банаховом пространстве любые две функции JCi {f) и jCg (t), удовлетворяющие условиям ii xi(f) - JCo ik 6 и iix2 (о - JJo ik b. Отсюда видно, что

S [xl (t)] - [д:, (OJ = f I/ (хг (T), t)-f{x, (T), T)] di .

to .

to+a

\\&lxi{{)]-&lxAf)]\\ J p/(Xi(T),T)-/(jc,(T),T)dT.

Применяя условие Липшица (3.5) к правой части неравенства, получим iiS [хг (т~1х (0] ii teljxi (q - д:, (о llp iix, (i) - х (f) ii,

следовательно, & является оператором сжатия в банаховом пространстве в области Si. Аналогично, так как

Шо-хо= j/(jCo,T)dT,

получим для t g (to, to + a)

11л:о-л:оМа(1-р)6.

Таким образом, на основании теоремы 11.10 существует единственное решение уравнения (3.1), которое удовлетворяет условиям теоремы 3.1.

4. Способ улучшения метода эквивалентных передаточных функций для систем с периодическим входом

Используя функциональное пространство ж и среднеквадратичную норму, введенную в примере И.6, Сандберг [176] при изучении систем с входными сигналами (рис. 11.5) смог применить теорему о неподвижной точке

Заметим, что хотя символы одни и те же, норма, определенная в настоящем примере, отличается от той, что использована в теореме 3.1, однако это не влияет на общность дока-, зательства. ...

сжатого отображения для получения некоторых результатов относительно поведения систем с периодическим входом. Поскольку оператор сжатия допускает получение решения методом итераций, можно указать путь улучшения метода эквивалентных передаточных функций, когда речь идет о предсказании формы сигнала.

Однако метод справедлив только для систем (в стандартной форме) с периодическим входом. Более того, при сделанных допущениях в системе не возникают автоколебания. Пусть система, приведенная на рис. 11.5, возможно, преобразованная из исходной в результате сдвига полюсов, подчиняется - следующим соотношениям:

1) однозначная нелинейность / (е) удовлетворяет условию *

/(f2)-m)

:2 (11.101)

Рис. 11.5. Типовая структурная схема класса систем, изучаемых в 4-й части § 11.7

для любых и е; 2) стационарный линейный объект полностью описывается заданием импульсной переходной характеристики g (t), так что его действие на элемент пространства Ж посредством оператора определяется с помощью интеграла свертки

lv{t)]=] g{t-t)vix)dx. (11.102)

Прежде чем излагать основные результаты, отметим два очевидных свойства линейного объекта.

Во-первых, норма оператора из уравнения (11.102) в соответствии с выражением (11.89) подчиняется следующему условию:

Р( = тахс(/п)

(11.103)

Это объясняется тем, что в пространстве Ж квадрат нормы может быть представлен как максимально возможная плотность мощности выходного сигнала линейного блока G, когда входной сигнал принадлежит классу периодических функций периода Т с единичной плотностью мощности . По теореме Парсеваля, если v является п-м коэффициентом ряда Фурье входного сигнала и (t) G X, то

Следовательно,

;тах

(11.104)

Однако, если п = т является тем индексом, при котором величина jn -f-j оказывается максимальной, то функция v (t) с периодом -

Таким

и единичной нормой определяет норму II (, равную G/m-

образом, выражение (11.104) должно удовлетворять только условию равенства.

* Саидберг [176] рассмотрел более общий случай.