ПРИЛОЖЕНИЕ II ОБЫЧНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И МОДИФИЦИРОВАННОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ОПЕРЕЖЕНИЕМ

ПЛ. Введение

Обычно z-преобразование уже давно применяется для решения диф)еренциальных уравнений. С появлением дискретных систем управления это преобразование стало важным средством, имеющимся в распоряжении инженеров. Для удобства решения дифференциальных уравнений, описывающих дискретные системы, z-преобразование позднее было обобщено в так называемое модифицированное z-преобразование с опережением.

Модифицированное z-преобразование с опережением применяется также и для других целей, например, для исследования существования и устойчивости периодического движения в релейных системах управления (см. гл. 8).

П.2. Основные определения

1. Модифицированное z-преобразование функции с опережением

Рассмотрим абсолютно интегрируемую функцию g (f). Предположим, что существуют действительные постоянные Ж и Р такие, что для ряда значений t, а именно, t= {k+ т)Т, где m 0; Т> 0; й = О, 1, 2, . . .,

\g{t)]>Me. (11.1)

Для этой функции модифицированное z-преобразование с опережением определяется в виде

= (г, т) YiSlm) Т*\ г (11.2)*

fe=0

для I г I е и действительных чисел ш О и Г >> 0.

Условие (II. 1) подразумевает наличие действительного б>0 такого, что можно написать g(<) 1 Me Используя это в формуле (11.2), получим

\S (2, m) М У, е(*+ ) , = Me(P- ) lim 1 - г ff

Из приведенного вьше неравенства видно **, что для каждого т, для которого справед--ливо условие (II.1), S (г, ш) будет абсолютно сходиться, если г > S.

* Верхний индекс -]- g [(ft -Ь m) ] означает lim g [(ft -- m -Ь е) Г], где предел должен

e-j-0

быть взят со стороны 8 > 0. .

Используется также модифицированное z-преобразование, определяемое как

М<. т) = S g Uk+m) r+] z-Ясно, что (z, m) = z~9 (z, m).

в данной книге всюду используется модифицированное z-преобразование с опережением. ** Если ( Z I 5= fP, то при 60 имеем

lim (еР-6ГгГ1)ё11т -Ле7- = 0.

2. Z-преобразование функции

Обычное z-преобразование является частным случаем модифицированного z-преобразования с опережением; z-преобразование функции g- (t), удовлетворяющее условию (II. 1), определяется как

Ы (т = (г) = Ит S (г. т) = {г. 0) = V g (,kT+) г *; г > е . (11.3) Как и раньше, S (г) будет сходиться абсолютно при г > е.

3. Z-преобразование бесконечной последовательности чисел

Z-преобразоБание можно определить также для бесконечной последовательности чисел. Пусть

Ш = {go.gi. } (11.4а>

представляет собой бесконечную последовательность чисел. Пусть заданы действительные постоянные М > О и Г >> О такие, что

lй<Л4eP й = 0, 1. 2. . (11.46),

тогда z-преобразование для этой последовательности определяется как

{а} = (г) = ] геР. (II.5),

4. Некоторые соотношения

На основе определяющих выражений (II.2) и (И.З) получим следующие соотношения: S{z, 1-) = {S (Z) - g {0*))z; (II.6a>

G (г, 1-) = S (г, 1*), если g (kT*) = g (kT-) при й = 1, 2, 3, . . . (11.66)*

Модифицированное z-преобразование часто полезно выразить через z-преобразование сдвинутой функции

S (г, т) = [g (i)] = SC[g(i+ тТ)]. (II.7>

Соотношение (II.7) сразу же вытекает из выражений (II.2) и (И.З). По существу модифицированное z-преобразование с опережением получило такое название именно из-за этого свойства.

Модифицированное z-преобразование с опережением и обьнное z-преобразование для некоторых функций представлены в табл. II. 1. Более полные таблицы содержатся в работах [90] и [190].

И.З. Обращение модифицированного z-преобразования ** с опережением

Каждый степенной ряд является аналитической функцией в пределах области своей

сходимости [107]. Так как степенной ряд, заданный уравнением (II.2), имеет вид (l/z)*,

где 1/г I < ехр (-РГ), то область, определяемая величиной z >> ехр фТ), представляет собой область сходимости для этого ряда. Поэтому уравнение (II.2) подразумевает, что модифицированное z-преобразование с опережением 9 (г, т) является аналитическим в области z >

* В большинстве практических случаев g (i) непрерывна при t= kT, k= I, 2, 3, . . .,. но не обязательно при = 0.

** Так как обычное z-преобразование можно рассматривать как частный случай модифицированного z-преобразования с опережением, в дальнейшем будет рассматриваться только-последнее.

> ехр фТ); любая функция (г, ш), являющаяся аналитической в области] z > ехр фТ), может быть однозначно представлена разложением Лорана *:

(г. т) = 2

fe=0

1 Л.,.

(П.8)

где -6 представляет собой любой замкнутый путь в направлении против часовой стрелки в области I г I > ехр фТ).

При сравнении формулы (П.8) с (П.2) получим обратное модифицированное z-преобразование с опережением:

lS(z. m)]g{(m+k)T-) = -щ3(г, m)z-dz; (П.9)

Отсюда следует теорема.

Теорема II. I Если (z, m) является аналитической в области г 1 >> ехр (РГ), то ее обратное модифицированное z-преобразование с опережением g({k-\- т) T*){k= О, 1,2,...) существует и однозначно выражается уравнением (II.9). *

Если, например, 9 (z, т) представляет собой рациональную функцию z, то все ее особые точки являются полюсами, и по формуле (II.9) можно вычислить с помощью теоремы вычетов [107]:

g-((fe-fm)r+)-f 5] [вьнеты z*-(z. ш)]. (11.10)

все полюса e(z, m)

Использование формул (П.9) или (11.10) не всегда является простейшим методом численной оценки обратного модифицированного z-преобразования с опережением или обратного z-npe- образования в случае /га = 0. Вследствие однозначности представления аналитических функций в виде степенных рядов можно использовать любой имеющийся метод для разложения (г, т) в степенной ряд с отрицательными степенями z и получить обратную величину g- ((АЦ- т) Г+) просто в виде множителя при члене с z~~ в этом ряду [90], [130]. Существуют также и другие интересные методы [9].

11,4 Другие свойства модифицированного z-преобразования с опережением

Модифицированное z-преобразование с опережением обладает следующими свойствами.

1. Линейность

л[й(0 + й(0] = л[1()] + -л[2(0]; (П-П)

f* ()[ = ()] *~ константа.

2. Свойства сдвига

Пусть g{t) = Q при 0. Тогда имеем

\9 {г, m - V), к<т;

Xj\g(t~%T)] = \ - (11.12)

Ag(t~nT)] = z~9(z, т), \ (11.13й)

п = 0, 1, 2. . . . J

n-i шО; ]

\S it -Ь пТ)] = z S(z. т)- S g -Ь k) Т*) . (11-136)

fe=0 и = 1, 2, . . . j

* См. работу [1071, стр. 117-122. Так как (z, т) является аналитической вобласти г 1 ехр фТ), ее разложение в ряд Лорана имеет лишь отрицательные степени z.