Отсюда

(s + Xi)(s + X,)

0 0 0

С (s) = С [s/- B=CH (s) =

S(S + ?.5) 4

s + >,3

s(s + h)

Матрицы (s) и С (s) можно также получить непосредственно из схемы, приведенной на рис. -2.14.

3.6. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Управление объектом можно трактовать как способ создания такой управляющей функции а (t), при которой выходной сигнал воспроизводит некоторую заданную функцию времени. Возникает вопрос: что гарантирует возможность такого управления в любом случае Этот вопрос приводит к более общему понятию об управляемости объекта.

Определение 3.1. Система л: = /(л:, и, t) называется полностью управляемой, если из любого начального состояния х (to) ее можно перевести в любое конечное состояние х (tj) при помощи некоторого входного сигнала u{t) в течение конечного интервала = = i-

Определение понятия полной управляемости достаточно просто, однако это понятие до сих пор применяется только в отношении линейных стационарных систем.

Заметим, что согласно определению 3.1 любое состояние объекта зависит по меньшей мере от одной составляющей вектора входного сигнала. Это лучше всего можно продемонстрировать на примере линейной стационарной системы, записанной в канонической форме *.

Рассмотрим сначала случай, когда объект имеет один входной сигнал, а его собственные значения различны. Уравнения системы имеют в данном случае вид

Xl = XiXi + bjU; Ха = Т-аХа + ЬЩ . . х = Я Х + 6 > (3.46)

и могут быть представлены схемой (рис. 3.2).

Координата х,- подвергается влиянию со стороны управляющего сигнала и лишь в том случае, если соответствующий коэффициент усиления 6,- не

См. также работу [76].

равен нулю. Так как при любом выборе переменных состояния эти переменные можно выразить в виде линейных комбинаций переменных состояния, фигурирующих при канонической форТие записи, то можно сделать следующее заключение. Если сигнал и влияет на.любую координату системы, записанной в канонической форме, то он будет влиять и на любую координату при . записи уравнений системы в других пе-

ременных состояния.

Если ни один из коэффициентов не равен нулю, то условия полной управляемости системы (3.46) выполняются при любых %1.

При равенстве нулю коэффициента bi передаточная функция системы имеет нуль в точке 7,;. Другими словами, полюс и нуль в точке сокращаются. Таким образом, неуправляемость объекта обусловливается сокращением нуля и полюса.

Рассмотрим теперь случай кратных корней. Если корень Я,- имеет кратность т, то согласно канонической форме Жордана можно записать следующую систему т уравнений:

Рис. 3.2. Каноническое представление линейной инвариантной во времени системы с различными собственными значениями

Xk\ = iXkx + Xki +

(3.47)

Уравнениям (3.47) соответствует структурная схема, показанная на рис. 3.3.

p--t

Рис. 3.3. Структурная схема системы, описываемой уравнениями (3.47)

Заметим, что при bk+m~i = О теряется возможность управления переменной состояния Xk+m-i- Если, однако, другие коэффициенты bi (в их число не входит bk i) равны нулю, то возможность управления каждой из переменных состояния вследствие наличия передачи по главной цепи

сохраняется. Таким образом, другие коэффициенты bi несущественны, если речь идет об управляемости системы.

Следовательно, линейная стационарная система полностью управляема, если: 1) каждому простому полюсу A.j соответствует в уравнениях (3.46) отличный от нуля коэффициент Ь и 2) каждому полюсу %, кратности т соответствуют в уравнениях (3.47) отличный от нуля коэффициент bk+m-i-

В случае нескольких входных сигналов, т. е. когда и (t) - вектор, то объект полностью управляем, если каждая из переменных объекта зависит по меньшей мере от одной из составляющих входного сигнала и (t) *.

Описанные выше эвристические требования можно сформулировать в виде следующей теоремы [99].

Теорема 3.4. Необходимое и достаточное условие полной управляемости

линейной стационарной системы х == Ах + Ви заключается в том, что д

матрица К 1В\АВ\АВ\. . .\А ~В] типа пХпг должна иметь ранг п (см. приложение I) **.

Необходимые условия теоремы нетрудно доказать. Например, для системы с одним входным сигналом и простыми корнями при записи в канонической форме матрица А диагональная и, следовательно, такими же являются матрицы Л, . - ., А . Если один из элементов Ь, например k-u элемент, равен нулю, то, как мы знаем, система неуправляема, а матрица К = [Ь\АЬ\ АЬ I... I А ~Ь] типа пХп имеет k строк, состоящих из нулей. Следовательно, ранг матрицы не превышает п - так что требование теоремы 3.4 не выполняется.

Для системы с простыми корнями и несколькими входными сигналами, не влияющими, однако, на k-ю переменную состояния, матрица В при записи в канонической форме имеет к-ю строку, состоящую из нулей. Следовательно, в матрице К типа пХпг k-я строка также будет состоять из нулей. Определитель матрицы К равен нулю, так что и в данном случае ранг матрицы К не может превысить п - 1.

Необходимость сформулированного условия управляемости можно продемонстрировать также и для системы с кратными корнями (см. упражнение 3.3).

Доказательство достаточности сформулированного условия требует большей изобретательности. Прежде всего заметим, что для перевода системы из состояния лго при to в состояние х при ti входной сигнал должен быть таким, чтобы [см. выражение (3.22)1

Х1 = Ф (h, to) лГо + I Ф (1, т) в (т) и (т) dx.

Сигнал и (f), определенный таким образом на интервале ti>

совпадает с сигналом, переводящим систему из начала О в состояние х - д

= Xl - Ф (ti, to) Хо В течение этого же интервала. Если определить состоя-

ние Xs с помощью соотношения лг = Ф (i, to) х, то, рассуждая аналогич-

* Если каждая из переменных состояния линейного объекта подвергается влиянию со стороны каждой составляющей управляющего сигнала и (t), то объект имеет некоторые дополнительные положительные свойства. Это рассматривается в гл. 14, где понятие управляемости распространяется на линейные системы с переменными параметрами.

** 1В\АВ\АВ\...\А ~В]-матрица типа п X /-П, первые г столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие г столбцов - из элементов матрицы АВ, . .. и т. д.