Имея ее в виду, нетрудно приступить к получению уравнений Эйлера- Лагранжа и т. д. точно так же, как это было сделано в предыдущем параграфе.

Так как функции и, могут иногда достигать своей верхней или нижней границы на конечном отрезке времени, то синтез на основе вариационного исчисления становится довольно сложным. Валентайн, однако, показал, что необходимые условия по-прежнему выполняются всякий раз, когда задача остается невырожденной В частности, условие Вейерштрасса выражается в виде (13.89) и непосредственно приводит к принципу максимума Понтрягина (см. следующую главу).

Пример 13.6. Для того чтобы предотвратить потерю скорости самолетом (см. пример 13.4), предельная величина угла атаки должна быть ограничена сс ( :s5 niax- Найдем необходимые условия для задачи минимального времени полета. Вводя дополнительно переменную V (f) такую, что 7 = V (f), (0) = О, ограничение типа неравенства заменим условием

Z (а, V) = (а (О + шах) ( шах - (0) - (О = 0. (13.98)

Вводя произвольный множитель X, сформируем функцию

i-2= и ЬЧ1+К(0: V).

Выполняя необходимые вычисления, находим, что первые пять уравнений Эйлера- Лагранжа аналогичны уравнениям (13.47).

Кроме того, имеем два следующих уравнения:

= 0и

= 0. (13.99)

а=а* dv

Второе уравнение дает условие

%* {f)v* (f) = О, OtT, (13.100)

из которого видно, что условие трансверсальности остается тем же, что и в примере 13.4.

Из тождества (13-1001 няйдем, что на некотором отрезке траектории могут выполняться три условия:

1) X* е5 О и v* =f 0;

2) X* s О и v* s 0;

3) Я.* =f О и v* = 0.

В 1-м случае из определения переменной v {t) видно, что выполняется условие - тах <С <; (<)<< а ах- Для условий 2) и 3) а равна или -{- тах или -Кщах. что указывает на релейное управление.

На вопрос, какой из видов управления нужно применять в пределах данного интервала времени, может быть дан ответ только при более детальном рассмотрении решения системы. Часто может быть полезно условие Вейерштрасса (см. упражнение 13.9).

Если принимается релейное управление, то в моменты переключения переменная а = = fi () в выражении (13.73) претерпевает разрывы. Согласно п. 3 § 13.1 отметим, что в нашей задаче встречаются точки излома. В каждой из них должны выполняться условия Вейерштрасса-Эрдмана. В настоящей задаче эти условия даются выражениями (13.20) и (13.21), за исключением того, что L заменено на. и п - на п 2. Первое условие означает, что все множители tJJ(- (f), i= 1, . . ., 5, и функция X (tyv* (f) должны быть непрерывными в точках излома.

6

Второе условие (13.21) означает, что величина Я = tJj/j (х , а\ должна бьггь непре-

рывной в точке излома.

Далее можно убедиться, что условие Вейерштрасса сводится к виду

fi= i: <fi {х, а) > j] {х\ ау, (13.101)

=1 i=i

* ) См. гл. 16, где рассматриваются вырожденные задачи.

с учетом ограничений (13.98), оно означает, что а() iKmax- Условие Вейерштрасса таким образом, показывает, что правая часть соотношения (13.101) должна быть максимизирована при условии а (f) \ Отах- Это и является положением принципа максимума, как мы увидим в следующей главе.

Тот факт, что f,- (х, а*) = 1 (условие 13.80), бывает полезен. Введение дополни-1=1

тельных переменных X {() av (i) усложняет задачу. При изложении принципа максимума в следующей главе будет показано, что в использовании этих переменных нет никакой необходимости.

13.6. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Большой класс задач оптимального управления может быть решен при помоши вариационного исчисления, даюшего ряд необходимых условий, которым должна удовлетворять оптимальная траектория. Необходимыми условиями являются: 1) уравнения Эйлера-Лагранжа [уравнения (13.11) или (13.17)]; 2) условие Лежандра (стр. 366 и 367); 3) условие Вейерштрасса (стр. 368 и 369) и 4) условие Якоби, которые в настояшей книге не рассмотрены. Согласно этим условиям уравнения Эйлера-Лагранжа и условие Лежандра удовлетворяются вдоль траекторий, которые определяют слабый локальный минимум функционала (§ 13.1). Условие Вейерштрасса выполняется вдоль траектории, которая дает сильный локальный минимум.

Необходимые условия могут служить для сужения области поиска оптимальной траектории. В большинстве случаев уравнения Эйлера-Лагранжа, условие Вейерштрасса (которое включает в себя условие Лежандра) и условие Якоби вместе составляют достаточное условие того, что кусочно-гладкая функция X (t) является оптимальной траекторией *.

Вариационное исчисление может быть распространено на задачи отыскания минимума показателя качества для систем, описываемых дифферен-циальньми уравнениями, если использовать метод множителей Лагранжа (теорема 13.1). Классическая трактовка вариационного исчисления не допускает наличия управляюшего воздействия и; однако это препятствие можно обойти, введя дополнительную переменную (t) такую, что (t) = = и (t). Тогда возможно найти решение для класса линейных оптимальных задач управления с показателем качества в виде интеграла от положительно определенной квадратичной формы переменных л: и (§ 13.2).

Задача оптимального управления с интегральными показателями качества известна как задача Лагранжа. Ее можно решать методами вариационного исчисления. Кроме того, вариационное исчисление используют для решения задачи оптимального управления конечным состоянием, или задачи Майера (§ 13.3), и задачи с обобшенным критерием, или задачи Больца.

Если управляющие воздействия ограничены в соответствии с уравнением (13.94), то можно использовать метод, предложенный Валентайном. В своей основе этот метод предусматривает введение достаточного числа дополнительных переменных согласно уравнениям (13.96) и (13.97). После этого можно использовать обычный подход. Достигают или нет управляющие воздействия своих пределов, можно определить из условия Вейерштрасса.

Применяя различные необходимые условия для сложной задачи, получим двухточечную граничную задачу, включающую в себя 2п дифференциальных уравнений. Только в редких случаях ее можно решить аналитически. Обычно приходится прибегать к численным методам.

* Это положение не выявлено должным образом в данной главе, так как достаточные условия оптимальности рассматриваются в следующей главе.

13.7. ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРАЖНЕНИЙ

13.1. функция двух переменных f (Xi, х,) обладает частными производными до третьего порядка по своим аргументам. Покажите, что в каждой точке локального минимума, не находящейся на границе /, матрица Idf/dxidxj] должна быть неотрицательной.

13.2. Функция / (ы) = iJJK - I ы I определена на интервале - 1 ы 1. Найдите значение и, при котором / (и) достигает своего максимального значения. Определите и как функцию tJj. Полученный результат будет использован в следующей главе.

13.3. Найдите траекторию, проходящую через точки х {0) = 1 и л; (1) = О,.которая минимизирует функционал

-df.

Проверьте выполнение условий Лежандра и Вейерштрасса.

13.4. Найдите траекторию, удовлетворяющую уравнению Эйлера-Лагранжа относительно функционала

/ = f (х4 - бх?) dt о

и удовлетворяющую граничным условиям х (0) = 0; х (1) = 0. Удовлетворяет ли полученная траектория условию Вейерштрасса? Если нет, то найдите траекторию, которая удовлетворяет ему.

13.5. Однородный трос с удельной плотностью р подвешен в двух точках (х у,) и (х у так, что на него действует только сила тяжести:

а) выведите формулу для потенциальной энергии

где у (х) определяет вес троса как функцию горизонтального расстояния х;

б) центр тяжести троса у* (х) является положением, для которого потенциальная энергия Ф достигает минимума. Найдите у* (х) при условии, что длина троса L.

13.6. Для задачи, данной в примере 13.5, найдите угол выхода троса из правой точки закрепления.

13.7. Задан объект первого порядка х = -ах -- Ьи; а, 6 > 0:

а) образуйте уравнения Эйлера-Лагранжа для задачи нахождения оптимальной управляющей функции и* (f), которая минимизирует функционал

оо о

при произвольных начальных условиях;

б) найдите оптимальную управляющую функцию и* в системе управления с обратной связью.

13.8. Для системы, приведенной в упражнении 13.7, положим

/ = j + и) dt, о

где Т - конечное время; конечное состояние системы произвольно:

Исследуйте возможность синтеза оптимального управления для системы с обратной связью, введя функцию р {f) такую, что и {t)= -р (t) х {t), О t Т:

а) найдите вид функции р {t);

б) найдите дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция р (t). Найдите граничные условия.

13.9. Снова рассмотрите оптимальное по быстродействию управление в системе х = и при переводе изображающей точки из произвольного состояния Xq в начало координат, если 1 (0<1:

а) используя метод Валентайна, получите необходимые условия, которые следуют и уравнений Эйлера-Лагранжа;

б) проверьте условия точек излома, если в этом появляется необходимость.