в) с учетом результатов предыдущего пункта рассмотреть функцию Ляпунова вида

у = хМх + хОх + \ f(z)dz.

где М = diag {т.....т ) и miO для всех L

Показать, что достаточное условие абсолютной устойчивости начала координат заключается в том, что существуют постоянные ki, такие, что уравнения Лурье

h + h

выполняются для всех i;

г) рассмотреть случай, когда = О, t = 1, . . ., и;

д) применить все сказанное для анализа конкретной системы вида (9.5), где

G(P): Р +

(р + 2)(р-}-3)(р + 5)-

9.8. Уравнения Лурье для системы непрямого регулирования. Рассмотрим систему непрямого регулирования, структурная схема которой показана на рис. 9.66; передаточная функция G (р) имеет лишь действительные, различные и отрицательные полюсы; / (е) удовлетворяет условиям (9.17). Читателю предлагаем:

а) показать, что уравнение системы можно записать в виде

x = Ax + bf(e); е = сх; =dJx - hf{e).

где обозначения имеют тот же смысл, что и в предыдущем упражнении;

б) вновь воспользовавшись функцией Ляпунова вида

У = хМх + хОх + J / (г) dz.

показать, что уравнения Лурье принимают вид

в) рассмотреть случай, когда = О, i = \, . . ., п;

г) определить уравнения Лурье для системы, рассмотренной в примере 9.11.

9.9. Определить, является ли каждая из приведенных ниже нестационарных скалярных функций положительно определенной:

а) F(jc, 0 = 1 + -f;

б) V (X, t) = x\+ txl;

в) V (X, t) = х\-\-{1 + cos%) xl.

Для всех примеров размерность вектора х считать равной двум. В тех случаях, когда функция положительно определена, найти ту из них, которую можно мажорировать скалярной функцией рх в соответствии с уравнением (9.31).

9.10. Некоторые системы с параметрическим возбуждением могут бьггь приближенно описаны уравнением Матье вида

X -\- 2х -\- (а - b cos (OQ х = 0.

Полагая а>- 6>- О и используя функцию Ляпунова вида (9.45), найдите связь между параметрами а, и со, гарантирующую асимптотическую устойчивость.

9.11. Линеаризованные уравнения, описывающие движение рыскания спутника, стабилизированного силой гравитации (упражнение 2.12), имеют вид

el + /jiBi + fegea = Ui, ёг - fegei = 2,

где 6i и 62 - углы крена и рыскания соответственно; ki, Й2> kg - параметры системы; 1 и 2 - составляющие момента управления относительно осей крена и рыскания;

а) используя подходящую функцию Ляпунова, отыщите класс нелинейных управлений i (61. 62) и щ (Gi, 62), которые стабилизируют угол (it);

б) установите, можно ли пренебречь одним из управляющих моментов или Т, сохранив цель управления?

9.12. Покажите, что условия теоремы 9.6 предполагают, что внутри области Sik фvнкция V {х) не имеет максимума.

9.13. Докажите утверждение (I) § 9.4.

Указание: преобразуйте матрицу А к жордановой канонической форме.

9.14. Докажите утверждение (2) § 9.4. Указание: используйте матрицу

it) CW (t) dt.

где матрица (f) удовлетворяет уравнению Y = -А; W (0) = /. Покажите, что матрица Q симметричная, если С - симметричная матрица; кроме того, Q удовлетворяет уравнению (9.16).

9.15. Докажите несправедливость следующего утверждения: если для системы (9.4) можно Б окрестности начала координат отыскать такую непрерывную и имеющую непрерывные первые производные положительно определенную функцию Vx, производная которой по времени не является отрицательно определенной или знакоотрицательной в произвольной окрестности начала координат, то положение равновесия системы в начале координат неустойчиво.

9.16. Покажите, что система, структурная схема которой изображена на рис. 9.6, а, эквивалентна в смысле анализа устойчивости системе на рис. 9.6, б при условии, что

h+сАЧфО.

9.10. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

; Второй метод был изложен Ляпуновым в его работе [130], опубликованной в 1892 г. Ясное и четкое изложение метода, без привлечения сложных математических построений, дано в работе [118].

Прекрасно составленные обзоры, касающиеся применения второго метода, можно найти Б работах [66] и [98], В частности, последняя работа адресована непосредственно специалистам по теории управления. Недавняя работа [120] содержит большое число примеров.

Задача Лурье вместе с задачей В. М. Попова, которой посвящена гл. 10, рассматривается в работах [1], [66], [118], [122]. Задача Лурье прекрасно, если исключить некоторые опечатки, излагается в учебном пособии по нелинейным системам [58].

Исключительно важным является незатронутый в этой главе вопрос о формировании функций Ляпунова. Этого вопроса мы избегали потому, что, с одной стороны, для большинства систем известные примеры чрезвычайно трудоемки, а с другой стороны, выбор функции тесно связан с возможностью определения знака сложных функций. В заключение следует подчеркнуть, что изученные методы наиболее приемлемы для анализа существенно нелинейных систем низкого порядка. Прекрасный обзор, содержащий большое число различных способов формирования функций Ляпунова, можно найти в работе [181].

ГЛАВА 10

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ В. М. ПОПОВА И ЕГО РАЗВИТИЕ

Рассмотрим вновь системы, которым соответствует структурная схема, показанная на рис. 10.1 (или рис. 6.5). Их анализ можно было бы провести с помощью приближенных методов развитых в гл. 6 и 7. Кроме того, можно получить точные суждения об устойчивости этого класса систем, если сформулировать и решить для них задачу Лурье. Последний способ оказывается достаточно громоздким при анализе систем высокого порядка, и им пользоваться невозможно когда объект управления характеризуется распределенными параметрами или запазды-

Рис. 10.1. Основная структурная схема системы с обратной связью, используемая в гл. 10:

/ - нелинейный нестационарный элемент; 2-линейный стационарный элемент

ванием.

На основе второго метода Ляпунова румынский ученый В. М. Попов в 1959 г. сформулировал частотный критерий, который определяет достаточное условие асимптотической устойчивости одноконтурных систем со стационарной линейной частью и однозначной нелинейностью, которая может быть и нестационарной. Формулируется критерийПопова в виде неравенств, связывающих характеристики линейной и нелинейной части.

Поскольку критерий Попова позволяет анализировать устойчивость, используя частотные характеристики, то он применим как для анализа объектов высокого порядка, так и для объектов с распределенными параметрами и запаздыванием. Если известна частотная характеристика линейного элемента, то определение абсолютной устойчивости * всей системы при ограниченном классе нелинейностей производится с малыми затратами времени на вычисления. В дальнейшем результаты Попова удалось распространить на системы управления достаточно широкого класса, когда в них входят нелинейности с гистерезисом определенного типа и нестационарные нелинейности.

В этой главе излагается общая теория, позволяющая получить различные формулировки критерия Попова. При этом практически никаких ограничений на характеристики системы не накладывается, что позволяет применять эту теорию для широкого круга практических задач.

* См. определение 9.1.