1.7. СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ

Книга состоит из трех частей. Б первой части (гл. 2-4) рассматриваются основные понятия и положения. Значительное внимание уделяется анализу систем управления с помощью переменных состояний. Приводятся некоторые-способы решения уравнений в переменных состояниях. Для компактности записей используется векторно-матричный математический аппарат. Учитывая, что во многих университетах США все это читается студентам старших курсов, читатель, знакомый со способами составления уравнений систем: управления в переменных состояниях и методами их решения, может сразу же перейти к изучению материалов гл. 5.

Во второй части книги (гл. 5-И) излагаются основные методы анализа устойчивости систем управления, описываемых дифференциальными уравнениями. Она начинается с рассмотрения способов линеаризации вблизи состояния равновесия или вблизи опорной траектории. Далее излагается анализ устойчивости линеаризованных систем (первый метод Ляпунова). Рассматривается также важный критерий равномерно асимптотической устойчивости для нестационарных систем. Наконец, указывается на орбитальную устойчивость и ее практические приложения.

В гл. 6 и 7 излагаются очень мощные приближенные методы анализа нелинейных систем: это методы гармонической и обобщенной эквивалентной линеаризации. Если помнить о границах применимости этих методов, то с их помощью можно более широко истолковывать результаты, полученные точными методами. Мы покажем при этом, как область применимости точных методов может быть расширена. В гл. 8 изучается класс релейных систем. Излагаются некоторые новые подходы, касающиеся этого важного класса систем. Гл. 9 освещает второй метод Ляпунова, его достоинства и недостатки.

Метод В. М. Попова и его развитие изучается в гл. 10. При этом система описывается интегральными уравнениями, и в основном указанный подход использует идеи функционального анализа. Мы покажем, что фундаментальная теория В. М. Попова и хорошо известный частотный критерий очень просто связаны некоторым билинейным преобразованием, осуществляющим сдвиг полюсов. В гл. 11 излагаются некоторые новые результаты по устойчивости относительно входного сигнала. Для получения результатов, использующих неравенства, приводится теорема о неподвижной точке.

В гл. 12-17 обсуждаются результаты современной теории оптимальных систем. Некоторые фундаментальные положения и интуитивные предпосылки, ведущие к одному из способов постановки и решения задач опти- мального управления, излагаются в гл. 12. Основные результаты классического вариационного исчисления в форме, приемлемой для решения оптимальных задач, приводятся в гл. 13. Показано, что, добавляя достаточное число переменных, почти все задачи оптимального управления можно решить на основе вариационного исчисления. Однако принцип максцмума более приспособлен для решения специальных задач теории управления; при его использовании те же результаты получаются более простыми способами. В гл. 14 приводится геометрическая трактовка принципа максимума. Представляется, что наилучшее понимание этого принципа может быть достигнуто именно при такой интерпретации.

Принцип динамического программирования, разработанный Беллма-ном,- это еще один чрезвычайно полезный метод решения задач оптималь- ного управления. При этом проблема оптимального управления рассматривается исходя из критерия оптимальности, определенного в пространстве состояния. С этой точки зрения весьма удобно изучаются линейные оптималь-

ные системы. Некоторые трудности, возникающие при решении задач оптимального управления, обсуждаются в гл. 16 и 17. В гл. 16 рассматриваются так называемые особые задачи управления, для которых необходимые условия оптимальности удовлетворяются весьма просто, но, однако, оптимальную задачу следует решать другими способами. Вот почему, действуя опрометчиво, можно получить неверные результаты в оптимальном управлении. В- гл. 17 излагаются некоторые вычислительные аспекты оптимального управления. Глава оканчивается изложением вопроса практической реализации оптимальных законов.

В конце книги имеется три приложения. В приложении I приводятся основные результаты матричного исчисления. В приложении II дается краткий обзор методов z-преобразования и улучшенного z-преобразования, которые мы используем в гл. 8. В приложении III приводится полное доказательство основных положений метода В. М. Попова, а также приводятся другие полезные математические результаты.

ГЛАВА 2

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПЕРЕМЕННЫХ С0СТ0ЯНИЯ1

сследование системы. управления во временной области с помощью переменных состояния предпочтительнее как по методическим соображениям, так и благодаря удобству обозначений и простоте проведения анализа. Преимущество методического характера обусловливается возможностью-охарактеризовать систему понятием состояние системы , которому соответствует точка в определенном евклидовом пространстве. В этом случае поведение системы во времени характеризуется траекторией, описываемой этой точкой. Применение матриц и векторов позволяет записывать в более компактном виде как уравнения системы управления, так и их решение.

Если система содержит переменные во времени параметры или нелинейные элементы, то возможность применения хорошо известных частотных методов (после соответствующего преобразования системы) становится ограниченной. Однако во временной области уравнения могут быть исследованы хотя бы численным методом с использованием вычислительных машин. В этом случае представление системы в пространстве состояний оказывается особенно удобным.

Способ переменных состояния как таковой не является новым. Од тесно-связан с формализованными методами анализа динамики систем, основанными на принципе Лагранжа-Гамильтона. В своем новом виде этот способ, будучи применен к линейным (не обязательно стационарным) системам, позволяет с успехом использовать многие математические приемы, разработанные для качественного исследования динамических систем. Ниже будут изложены основные положения способа пер.еменных состояния. Этот материал послужит в дальнейшем основой для разработки методов исследования- систем управления во временной области.

2.1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Блок-схема типовой системы автоматического управления приведена на рис. 2.1. Объект - это часть системы, подлежащая управлению. Примерами таких объектов могут служить антенна в замкнутой системе сопровождения спутника Земли, ракета в радиолокационной системе управления и др. Обычно объект соответствует части системы, имеющей мощный выход, что-обусловливается выполняемой задачей: поворотом рефлектора антенны, направлением вектора скорости ракеты на цель и др.

Динамические характеристики объекта (располагаемые или максимальные управляющие моменты, резонансные характеристики конструкции и т. д.) обычно зависят от имеющейся в наличии аппаратуры управления. В этой