выполняется для всех t. В этом случае следует ожидать, что поведение системы в малой окрестности решения Хх (f) для достаточно малых би будет описываться линеаризованным уравнением

(5.47)

Для решения полученного линейного нестационарного уравнения (5.47) можно использовать методы, описанные в гл. 3. В частности, можно отыскать общее решение уравнения (5.47) в виде выражения (3.22) [см. гл. 3]:

Ьх(О = Ф{t, to)Ьх(to) +lФ{t,x)jt{x)Ьи(т)dx, (5.48)

где, как и прежде, Ф {t, t) - переходная матрица системы (5.47), удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению

(5.49)

Из соотношения (5.48) следует ряд весьма интересных свойств переходной матрицы. Для любого момента времени справедливо

Ьх (tx) = Ф {tx, to) Ьх (to) + I Ф {ti, X) (т) би (т) dx. (5.50)

В этом выражении лишь первый член в правой части зависит от бл: (to) и единичное возмущение i-й компоненты бл:(о) вызовет изменение /-Й компоненты вектора бл:(1), величина которого равна Ф/г (i, о)- Таким образом, переходной матрице Ф {t, to) можно придать смысл матрицы чувствительности, которая связывает возмущение вектора бл: в момент to сизмением этого же вектора в момент t при условии, что би остается неизменным.

Аналогично интеграл

Фitг,r){x)Ьu{x)dx (5.51)

определяет матрицу чувствительности вектора бл: к изменению только вектора би (О- Например, если t-я составляющая вектора би в момент-Заявляется единичным импульсом, то изменение /-Й составляющей вектора бл:(/1) в момент времени t определяется величиной

Ф/Пх. h)

df (к) да

Если возмущение i-й компоненты б в момент /а равно единичной функции, то изменение /-Й компоненты бл: {ty) равно

Ф е(1,т)

dfit)

есть член k-ii строки t-ro столбца матрицы -~

г Если в результате действия возмущений происходят малые изменения параметров, то эти изменения можно учесть точно так же, как это было сделано выше. Рассмотрим систему, которая описывается уравнением

x==f [х. Pit), t], (5.52)

где вектор р (t) объединяет совокупность параметров: коэффициента усиления, постоянных времени и т. д., влияние изменения которых и требуется оценить.

Если / - непрерывно-дифференцируемая функция по переменным р и X, то правую часть уравнения (5.52) можно разложить в ряд и получить выражение относительно возмущений бл: и 8р

bx = (t)bx + §f (t) Ьр + h (бл:, bp), (5.53)

df(t) df(t)

где по-прежнему

- соответствующие матрицы Якоби, вычис-

дх др

ленные в точках частного решения.

Тогда с точки зрения поведения в малом уравнение (5.52) можно заменить линейной частью выражения (5.53). Между прочим, отметим, что в линейном смысле возмущение вектора параметров Ьр играет роль управляющей функции.-

Пример 5.П. Уравнения углового движения искусственного спутника Земли при действии управляющего момента (например, момента силы тяги) относительно главных осей инерции спутника задаются уравнениями Эйлера в виде

Js-Ji , МО .

1

ш, = -

С02С03

2 =

С0з= -

С01С02-

щ (t)

(5.54)

где Ji, coj-, ui (t = 1, 2, 3) - соответственно составляющие момента инерции, угловой скорости и управляющего момента относительно одной из главных осей спутника.

Если 1=2= J. то из уравнений (5.54) видно, что решение при u-i (i) = щ (t) = = Ug (Q 3 О имеет вид

а о sin (Pi-f ay

coo COS (§t+a)

(5.55)

где coo, cogo, аир - постоянные величины, которые равны:

СО

а = arctg %= У<4о + io;

Jy - °С020

%о = >1 (0); созд = СО2 (0); содо = cog (0). Линеаризованные уравнения движения для исходной системы (5.54) относительно траек

тории (5.55) имеют вид

б 1 = pScOg -j- cos (Pi -j- a) 6(Ug

6Mf). 1 J

6И2 = -p6(Di - Й sin (Pf + a) 6CO3 -f

62 (t)

&3g

. 6 3 (t)

где k= Ofi

J-Js

(5.56)

- При быд И бсоз, равных нулю, влияние бы и быа можно определить, решая лишь первые два уравнения, поскольку в этом случае они отделяются от третьего. Окончательные линеаризованные уравнения будут верными, поскольку при невозмущенной координате cOg уравнения (5.54) не только разделяются, но и становятся линейными. В заключение отметим, что всегда линеаризация исходного линейного уравнения приводит к точно такому же уравнению.

Пример 5.12. Пусть на систему примера 5.11 в момент t= О подействовало возмущение бсодо (что эквивалентно импульсному воздействию по координате 6% (t)). При = = 6 2 = О влияние бсод можно оценивать как эквивалентное возмущение управляющих воздействий в двух первых уравнениях системы (5.56), точное решение которых теперь можно отыскать. В частности, получим

kcos (pt+a)

откуда

Ф (t, т) =

cos Р (i - т) sin Р (i - т) -sin р (f - т) cos Р (f - т)

Ъ(01 бсо.

. COS Р (i - т) sin р (f - т)- cos (рт + а)- L-sin Р (f - т) cos Р (f - t)J [-sin (3т +a)J

Из последнего соотношения найдем

бсо = йбсодо [cos (pi+ )] бсоа = -йбсодо [sin ф1+ а)] t.

(5.57)

Величины бсо и бсог, возрастают неограниченно, что означает неограниченность самих величин coi и coj. Этого, конечно, не может быть, поскольку момент количества движения после импульсного воздействия остается постоянным. Зная вид решения и помня, что система консервативна, мы можем определить тот интервал времени, в течение которого линейное приближение определяет верное решение задачи (см. упражнение 5.18).

Пример 5.13. Для системы, рассмотренной в двух последних примерах, оценим влияние возмущения по параметру J, возникающего при t == О, т. е. Ji = J + bj, ъ. J2 - = J к Jg остаются невозмущенными. Линеаризованные уравнения, соответствующие выраже- нию (5.53), принимают вид (при условии би = 62 = биз = 0)

бсо = рбсоз + cos (pf -f а) бсод--j- ао cos (Р- ) &Ji\

биа = -рбсо - k sin ф1 + а) бшд - ~ содо sin (р + а) б;

бс0з =

-j-oi sin(P-f a)cos(Pf + a)6J, =-Kf sin2 (Pf + a) 6/1.

(5.58)

В первую очередь следует определить решение третьего уравнения относительно бсод. Затем, подставляя это решение в первые два уравнения, найдем бсо и бсог. Предлагаем читателю самостоятельно проделать эти действия. Однако отметим, что третье уравнение указывает на возникновение колебаний по координате бсод с частотой 2р, когда получает приращение 61, что приводит к динамической асимметрии спутника (JiJz)- Этот результат подтверждает исследования Пуансо [62] для свободного движения несимметричного искусственного спутника Земли. Кроме того, из полученных линейных уравнений следует неограниченный рост координат бсо н бсоа, что невозможно.

5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ CHCTElVlbl. РАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Как следует из предыдущего параграфа, нам не представило особого труда сформулировать понятие устойчивости в малом траекторий произвольной системы. Теперь перенесем на этот случай идеи Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.