Это означает, что, когда функция L не зависит от переменной t, условие, определенное выражением (13.18), по-прежнему выполняется, несмотря на то, что траектория имеет точки излома.

4. Другие необходимые условия существования . минимума функционала

Первое необходимое условие для минимума функционала, которое следует из выражения (13.8), часто записывают так:

б/ = 0, (13.22)

что означает: первая вариация функционала f равна нулю. Это условие аналогично равенству нулю первой производной.

Второе необходимое условие записывают в видеограничений, наложенных на вторую вариацию. Осуществим разложение функционала f (г) (13.7) в ряд Тейлора:

/(8) = / + 8(5/ + -4-б/ +

(13.23)

(13.24)

Для траектории, которая удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, согласно выражению (13.8) bf равняется нулю. Но из всех траекторий, которые удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа, минимизирующая траектория должна быть такой, чтобы все другие траектории вблизи нее обеспечивали большую величину функционала /. Последнее свойство можно описать математически таким образом: дл; достаточно малых е ряд (13.23) обеспечивает условие f (е) f. Это означает, что б/ О и в рассматриваемой задаче найденная траектория обеспечивает локальный минимум функционала f.

Для того чтобы выполнялось условие б/ О вдоль данной траектории, необходимо выполнение неравенства (PLIdx О вдоль этой траектории. О})ормулированное условие носит название условия Лежандра. Напомним, что функция т] (f) предполагается равной нулю при и t, но в других отношениях она не определена. Следовательно, можно построить функцию т] {t} так, чтобы удовлетворялось условие Лежандра.

Такая функция показана на рис. 13.2 и равна

11 =

Yh[l~), xtx + h; О при всех других

(13.25)

где параметр х удовлетворяет неравенству < т < 2 и выбран так, что подынтегральное выражение в соотношении для б/ является регулярным.

Подставляя r\ (f)B 8f и устремляя h- О, убеждаемся, что условия Лежан-дра выполняется (покажите это).

При нескольких переменных условие Лежандра) заключается в том, что матрица ГL 1 неотрицательна вдоль оптимальной траектории.

Если траектория удовлетворяет как условию Лежандра, так и условиям Эйлера-Лагранжа, то она минимизирует функционал / в слабом смысле. Для того чтобы установить, что траектория обеспечивает также сильный локальный минимум, нужно наложить третье необходимое условие. Обращаясь к рис. 13.3, обозначим через х* (t) найденную траекторию. Мы хотим изменить X* (t) таким образом, чтобы в результате получить траекторию X (t) которая лежит в сильной окрестности х* (t). Такое изменение может быть

I I

Рис. 13.2. Специальная функция т) (Q, позволяющая получить условия Лежандра для случая одной переменной

to £

Рис. 13.3. Графики кривых Хх (О и (О, которые вместе составляют сильную вариацию относительно

построено, начиная с точки л;* (J, следующим образом: 1) через точку х* (ta) проведем прямую линию х (t) с конечным наклоном т, т. е.

Хг (t) = X* (ta) + m(t- ta);

(13.26)

2) в точке t ta образуем функцию Х (f), которая зависит от параметра е. Потребуем, чтобы Х (t) = х* (t), если е = t. Такой функцией, например, может быть

X, (t) = X* (t) + [X* (ta) + m (8 - g - X* (г)],

(13.27)

где k - произвольная постоянная.

Заметим, что Ху (t) совпадает с Х (t) при t = е и Х, (t) совпадает с X* (t) при t = k. Если выбрать функцию X (t) согласно выражению

х*(/), tt, а k<t; X(t) = \Xy(t), t<AtE;

X2(t), 8< г,

[(13.28)

то построенная возмущенная траектория находится в сильной окрестности X* (t), так как при 8-0 величина X (/) - х* (t) \ также стремится к нулю. Однако одна из составляющих функций X (t) будет всегда иметь наклон т, и, следовательно, величина \Х (f) - х* (f)\ не может быть сколь угодно малой.

) Условие Лежандрабыло распространено на упомянутый класс задач Клебшом, и поэтому часто говорят об условии Лежандра-Клебша.

Допустим, траектория х* (t) доставляет абсолютный минимум функционалу; тогда, помимо выполнения уравнений Эйлера-Лагранжа и условия Лежандра, должно выполняться условие

te -2

А/ = I L (Х (О, X (t), t) dt - I L {X* (t), ? (0, t)dtQ (13.29)

относительно произвольной треактории X (t).

Рассмотрим семейство только что полученных сильных вариаций. Предположим, что х* (t) - минимизирующая траектория, тогда для траектории X (t), заданной выражением (13.28), выполняется условие (13.29). Кроме того, учитывая рассуждения, которые привели нас к выражению (13.8), получим

0. (13.30)

Если определена так называемая остаточная функция Вейерштрасса, т. е. Е (X*, >, x,t)=:L (X*, x,t) - L (х*, х , О - (х - ?=) (X*, >, t), (13.31)

где X - производная неоптимальной функции, которая в нашем случае равна X (t), то можно показать (см. пример 13.12), что необходимым условием для Af О Б выражении (13.29) является

Е (х*, X*, X, 00 (13.32)

на траектории х* (t) для любого t. Выражение (13.32) представляет собой условие Вейерштрасса. Доказательство условия Вейерштрасса будет дано Б гл. 14, где рассматривается принцип максимума.

Пример 13.2. Рассмотрим снова пример 13.1 и проверим, удовлетворяет ли полученное решение условию Лежандра и условию Вейерштрасса.

Если предположить, что решение, полученное в примере 13.1, оптимальное, то оно должно

быть минимизирующим. В рассматриваемом-случае условие Лежандра -;-обретает

следующие числовые значения: dFLIdx = 21, если L = и вдоль оптимальной трактории,

где х = I, dLldx = 2, условие Лежандра выполняется. Вычислим функцию Вейерштрасса

е = -.--I + (л; -I) = 4- + л; -2,

откуда видно, что условие £ О не удовлетворяется, если x<i 0. Поэтому условие Вейерштрасса не выполняется. Таким образом, решение х {f) = t примера 13.1 обеспечивает самое большее слабый локальный минимум.

Действительно, совсем просто построить траекторию, которая дает меньшую величину /, чем траектория х (t) = t. Учитывая, чтоусловие Вейерштрасса нарушается при x<iO, рассмотрим траекторию

Г ~2t, . 0 0,1;

Xi(0= -0,2+2( - 0,1), 0,1 < 0,4;

i, 0,4< 1,0,

которая удовлетворяет заданным граничным условиям, дважды кусочно дифференцируема и имеет одну точку излома ).

Нетрудно показать, что х, (t) обеспечивает величину f = 0,7, в то время как оптимальная траектория JC (t) = t дает величину f = I.

1) При / = 0,4 Xi (f) должна быть сглажена, чтобы выполнялось условие в точке излома.