ничная импульсная характеристика ga (0) имеет устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б > 0. Это означает, что

2ет

(т) dl

<оо.

(11.47)

Из леммы 11.3-для системы, полученной в результате сдвига полюсов (рис. 10.9, б), следует

/ Г \1/2

2е (t-r) 2

Ua{T:)dx

;с <оо, 0::оо,

(11.48)

так что для этой системы из неравенств (11.44), (11.45), (11.47) и (11.48)

найдем

\e(t)\ =

Га it) + вао (t) - J ga {t - т) (т) dl

{Гт +eom){l+CU;a) + CgCu<00, 0:/00.

Следовательно, из условия (11.39в) для исходной системы получаем неравенство

y(t)\=\rit) - e(t)\r + {r + eom){+ciCa) + Cgju<oo для ООО.

- (11.49)

Теорема 10.5 есть частный случай теоремы 10.4 и поэтому не требует специального доказательства.

Предположим теперь, что требование устойчивости выходного сигнала линейного элемента не выполняется. Рассмотрим теорему 10.1 и предположим,-что линейный элемент G (р) может быть получен в результате преобразования сдвига полюсов (10.38) e. (t) = е (О + си (f) из элемента G, (р) = = G (р) - с, который имеет устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б > 0. Сказанное иллюстрируется рис. 10.16. Единичная импульсная характеристика преобразованного элемента равна

& (О = (О - Фо (О, где (Ло (О - единичная импульсная функция. С учетом условия (11.39а) и (11.39в), получим

e{f)=r (f) ~eo{f) - f & ( - т) м (т) dx - си (t).

Следовательно, из выражений (11.40) и (11.43) найдем \e{t) + cu{t)I + еот+ CgCu<оо.

(11.50)

где константа Cg аналогична константе Cg в соотношении (11.42), т. е. для произвольно малого б >> О справедливо неравенство

/1 \т

Cg <оо, 0/<оо. (11.51)

\egUx)dx \о J

Условие (11.51) выполняется, так как по условию теоремы линейный элемент с единичной импульсной характеристикой g (f) имеет устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б >> 0. Условие (11.43) справедливо по лемме 11.3.

Рассмотрим теперь ограничения сО и {ule) [О, оо], характерные для теоремы 11.6. В этом случае sign и = sign е и, следовательно, je (f) + -\- си {t) \ =\е {t) \ + с и {t)\, так что неравенство (11.50) примет вид

\e{t)\ + c\u{t)\

\Гт + т -\- CgCu < ОО,

g:00.

(11.52а)

Это означает, что сигналы и (t) и е (t) ограничены. Следовательно, из условий (11.39b), (11.40) и (11.41) имеем

\y(t)\ = \r{t)-eit)\r+\eit)\r + \eit)\ + c\u{t)\:

=2Гт + еот +CgCu<OD, Qtoo.

(11.526)

Теперь надо доказать, что если используется теорема 10.4, то требование устойчивости выходного сигнала линейного элемента, охваченного обратной связью с коэффициентом а О, может не выполняться, поскольку операторная функция Сд (р) = G (р)/[1 +aG(p)] может быть определена в результате преобразования сдвига нулей (10.38), где элемент G (р) имеет устойчивый выходной сигнал с коэффициентом затухания б > 0. Неравенство (11.45) перепишем следующем образом:

\ra{t)\ + eoait):

г it) + Со (О - a\g,it- т) ео (т) di + сае (t)

где константа такова, что

\gc{t)\dt==Ci:<: оо.

(11.53)

(11.54)

Аналогично выражению (11.51) имеем для системы со сдвигом полюсов I е (/) I + с I (О I < (г + ео J (1 + ас, + са) + Cgc ; (11.55а) \y{t)\ = \r{t)--e{t)\r + \e{t)\rm+\e{t)\ + c\uait)\r

+ (Гт + еот) (1 + ОСс + са) -L- CgC < оо. (И .556)

Как и ранее, теорема 10.5 представляет собой частный случай теоремы 10.4, поэтому не нужно специального доказательства для случая, когда г () = 0.

Итак, когда выполняются условия любой из теорем гл. 10 для = О, то согласно лемме 11.3 условие (11.43) имеет место, даже если г (f) не ограничено.

11.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫНУЖДЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Устойчивость вынужденных решений иногда называют устойчивостью переходного процесса 145], [202]. Ниже будет показано, что устойчивость переходного процесса в системе Попова относительно легко определить, используя анализ возмущенного движения и некоторые теоремы гл. 10. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 11.1, с безынерционной нелинейностью, т. е. u{t) = f (е (t), t).

1. Линейная нестационарная система

Рассмотрим сначала случай, когда / (е (t), t) определяет переменный коэффициент усиления k (f). Уравнение системы можно записать в следующем виде:

е (О = 0 (О + r{f) -\ g{t~T:) k{%)e (т) ск. (11.56)

Положим, что 10 (01 лля (О, оо), g (О Е и и во (0 6

G 2 * всюду на полуоси (О, оо) и предположим, более того, что для г (О = = Оиа<(0=Ь круговой критерий, сформулированный в теореме 10.4, выполняется при = 0. Это предполагает, что при г (О = О автономная система имеет абсолютно асимптотически устойчивые управляющий и выходной сигналы во всем диапазоне изменения коэффициента k (t).

Если теперь приложить входной сигнал г (О, то для данных начальных условий решение системы е (t) полностью определяется уравнением (11.56). Положим, что при t = О набор начальных условий изменяется. Тогда (О, а, следовательно, и е (f) изменится. Пусть е (f) = е (О + Де(0 и ео (О = = Со (О + До (О ** - возмущенные значения е (О и (О соответственно; тогда можно -записать

е (О = ео (О + r{t)-\g{t~T)k (т) е (т) dx. (11.57)

Вычитая уравнение (11.57) из уравнения (11.56), получим выражение для возмущений по переменным в виде

Ае (О = Ао (О - I ё ( - т) А (т) Де (т) dx. (11.58)

Заметим, что в этом частном случае г (t) не рассматривается и эквивалентная линейная система при г (О = О описывается уравнением (11.58). Так как объект линейный, то Ае (t) имеет тот же вид, что и е (f), а, следовательно, I Део (О I < оо и Део (О £ =S2- Передаточная функция объекта G (р) не изменяется, и, следовательно, g (t) G gx и При наших предположениях относительно исходной системы заключаем, что Да (О € =52. где Дм (0 = = k (О Ае (О- Тогда на основании леммы 10.1 можно утверждать: Де (О О при -оо. Это значит, что управление е (f), полученное из уравнения (11.56), устойчиво, когда возмущения по начальным условиям достаточно малы. Более того, решение е (О единственно ***.

Аналогично можно заключить, что решение е (О системы, определенное уравнением (11.56), устойчиво по возмущению вида Дг (О при условии, что Дг(0( <оо и Ar(t}e.,.

2. Нелинейная стационарная система

Пусть вместо переменного усиления, когда и (f) = k (f) е (t), в системе присутствует безынерционная нелинейность и (f) = f (е (t)).

Если выходной сигнал равен г (f), то решение е (t) системы дается выражением

е (О -eoi + r{t)-\git-x)f (е (т)) dx. (11.59)

* См. сноску на стр. 267 и приложение III.

** Здесь используется обозначение Де (t) и Део ((), а не бе (/) и бео ((), чтобы показать, что возмущения не обязательно малые.

*** Что всегда справедливо для линейных систем.