Что происходит, если to < О?

5.8. Движение системы описывается дифференциальным уравнением

ift--

Является ли начало координат системы для интервала времени 0< to t:

а) устойчивым;

б) асимптотически устойчивым;

в) эквиасимптотически устойчивым;

г) равномерно асимптотически устойчивьш.

5.9. Исследовать движение искусственного спутника Земли (пример 5.11), если >

а) определите положения равновесия, если и = 0;

б) исследуйте устойчивость положений равновесия.

5.10. Покажите, что система

4 +

- Зх У + л + {х ~ х {х\ + ар -I- хх

.

имеет, по крайней мере, один предельный цикл в области

1<х2 + х<5. ♦

5.11. Используя понятие об индексе Пуанкаре (теорема 5.3), определите, существует ли для каждой из указанных систем предельный цикл: .

а) i = 2xs - г/ = 1 - + у;

б) х= х{1 + х)+ Ау;у = х(\+~ + у.

5.12. Для системы

x = х -г ху - х;

у = ху -\- у - у:

а) найдите положения равновесия;

б) покажите, что в системе отсутствуют замкнутые траектории;

в) установите, что система неустойчива вне единичного круга х -\- у = 1.

5.13. Эта задача и следующая ставят своей целью показать, что асимптотическая устойчивость линейной системы, описываемой стационарными дифференциальными уравнениями, определяет также и равномерную асимптотическую устойчивость в целом. Более того, реакция такой системы на произвольные начальные условия всегда ограничена убывающей экспо-нентой.

Докажите следующую теорему.

Теорема 5.7. Пусть все собственные значения Я; (t = 1, . . ., и) матрицы А для системы с постоянными параметрами расположены в области Re Xi < а, тогда каждый элемент Фц (t, 0) переходной матрицы Ф {t, Q) = [(si - А)\ будет ограничен следующим образом *1г/(0) йе Аналогично ограничена и производная Ф.у(4 0) й..е .

5.14. Пусть норма матрицы А определена так:

дуге п \\

И 11= Ц i; (МР ; \t=l/=l /

имея это в виду, докажите следующую теорему.

Теорема 5.8. Пусть все собственные значения Xi (i= \, . . ., п) матрицы А для системы с постоянными параметрами расположены в области Re <; сс, тогда существуют такие положительные числа М и М, что

1Ф(, 0)Me- ;

IIФ (4 0)Me- (указание: следует воспользоваться теоремой 5.7).

5.15. Рассмотрим уравнения Вольтерра

Xi = -kiXiX - ksXi, Х кХуХ - кхъ

где ki, k, kg vi - произвольные константы.

а) найдите положения- равновесия системы и установите их устойчивость;

б) отметим, что эти уравнения включают как частный случай и уравнения Ланкастера (см. упражнение 4.16). Эти уравнения могут описывать некоторую игровую ситуацию. Найдите условие, которому должен удовлетворять вектор начальных условий х {t в зависимости от параметров k, чтобы x-Q или Xg О при оо.

5.16. Контур фазовой задержки в теории связи описывается уравнением

X + (а + 6 cos х) л; + с sin х = 0.

Пусть а> 6 О и с> 0; является ли начало координат системы устойчивьш в малом? Используя построение иа фазовой плоскости, найдите иа ней область асимптотической устойчивости.

5.17. Дополните фазовый портрет (см. рис. 5.4) в окрестности двух других положений

равновесия е = */з; е = О и е = Vs; ё = 0.

5.18. Найдите точное решение задачи в примере 5.12 и сравните его с линеаризованным решением, приведенным в примере.

5.19. Буксировку одного автомобиля другим можно описать следующим уравнением:

у - расстояние между автомобилями; V - 1

постоянная скорость ведущего автомобиля; А, Т к а - действительные положительные константы.

а) что надо знать о начальных условиях, чтобы найти единственное решение у (t) для всех t > О?

б) найдите положение равновесия системы. Определите, при каких значениях из диапа-

зона 0:--2роо, положение равновесия 0;

в) покажите, что положение равновесия У асимптотически устойчиво только в том слу-

aTV я чае, если -< ,

5.20. Исследуйте линейную стационарную систему

а) управляема ли эта система; наблюдаема ли она?

б) исследуйте устойчивость начала координат при ы = 0;

в) исследуйте устойчивость начала координат, когда управление и формируется в виде и= ky.

5.21. Покажите, что начало координат линейной стационарной системы, передаточная функция G (s) которой имеет сократимые нуль и полюс в правой полуплоскости, нельзя сделать устойчивым, формируя линейную обратную связь.

5.22. Исследуйте одноконтурную нестационарную систему управления, описываемую уравнением (Р. Бейкер и А. Берген)

у+2у+ у= -k{f)y{t):

а) нарисуйте структурную схему этой системы;

б) покажите, что система устойчива при k {t) = 100 и k {t)= О-

в) покажите, что для

100 1::/+ Т 0= 1, 2, . . .)

о вне отрезка.

реакция у (t) будет неограниченной для т= 0,17 при начальных условиях у (0) = 0; у (0) = 1.

5.12. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Оригинальное изложение идей устойчивости можно найти в работе А. М. Ляпунова [130]. Другие результаты этой главы чрезвычайно разбросаны по многим книгам. Например, отдельные вопросы затрагиваются в работах, где излагается второй метод Ляпунова. Одной из лучших работ в этом направлении является книга [98], в которой широко обсуждаются различные определения устойчивости и результаты линеаризации нестационарных нелинейных систем. Прекрасное изложение математических основ теории устойчивости дается в работе [36].