2. Оптимальные задачи по расходу топлива

Пусть дана система х = f (х, и, t), которая может описывать динамику полета ракеты, а функция управления и является тягой, приложенной к ракете. Очевидно, что и будет определяться величиной изменения расхода топлива, тогда критерий качества системы можно представить в виде функционала

/1 S (12.3)

tr i=l

характеризующего общий расход топлива.

Задача управления может быть в этом случае сформулирована следующим образом. Необходимо найти и (t), переводящее системы из положения jCi при ti в при tz таким образом, чтобы расход топлива был минимальным.

3. Оптимальные задачи на минимум интеграла от квадрата ошибки системы

Относительно конечного состояния х величина х - х представляет собой ошибку системы. Преобразуем систему таким образом, чтобы х стало началом координат, тогда каждое новое текущее состояние х характеризует ошибку. Качество переходного процесса за время от до tz можно оценить согласно выражению

/ = j 2 {XcYdt\(xx)dt.

t, 1=1

В более общем виде можно воспользоваться следующей зависимостью *:

f = j{xQx)dt, (12.4)

где Q - симметричная положительно определенная матрица порядка п хп.

Задача управления заключается в определении такого и, которое переводило бы систему из положения Xi при t-, в начало координат О при 4 и обеспечивало минимум функционала (12.4).

4. Оптимальные задачи на минимум энергии

В некоторых задачах величины ? или uRu, где R - симметрич-

ная г хг матрица, определяют расход энергии при управлении. Например,

г

если Ui является током в i-м контуре схемы, то iifi определяет полную

мощность или полный расход энергии. Здесь - сопротивление в г-м контуре. Имея это в виду, составим следующий функционал:

f==\{ttRtt)dt, . (12.5)

который характерен для оптимальной задачи на минимум расхода энергии.

* См., например, Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования . Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. 1. М., Машиностроение , 1967, гл. XIX {Прим. ред.).

5. Оптимальное управление конечным значением

В системе перехвата самолета ракетой типа земля-воздух основной характеристикой является расстояние между ракетой и целью в некоторый конечный момент времени (скажем, в момент подрыва боевой части ракеты взрывателем). Тогда величина L в уравнении (12.1) равна нулю, а величина Р Ф Q. Ъ этом случае функционал записывается в виде

/ = Р [х, (12.6)

Для примера будем считать, что х ,; Хп,; - координаты положения перехватчика, а Хц-, Хц; Хц - координаты положения цели, тогда в качестве критерия примем минимум расстояния между перехватчиком и самолетом-целью в момент времени з- В этом случае

р = i (п. (2) - щ -

1=1

6. Оптимальные задачи с более сложными функционалами

Довольно часто даже простой по виду функционал приводит к неопределенному решению оптимальной задачи. В-ряде случаев такое решение вообще невозможно. В дальнейшем мы покажем, что в оптимальных задачах: по быстродействию, расходу топлива, а также минимуму интеграла от квадрата ошибки могут появляться не единственные решения, что делает эти задачи неопределенными. Для устранения этого недостатка проектировщики систем управления вводят в функционал дополнительные члены, что делает его более сложным. Например, функционал

f=\(t\t{t)\+k]di (12.7)

представляет собой линейную комбинацию двух функционалов (12.2) и (12.3) [если /2 не задано], а функционал

f = ] {xQx + uRu)dt . (12.8)

- комбинацию двух функционалов (12.4) и (12.5) *.

7. Задачи, в которых область цели отлична от точки

Во многих практических задачах конечные состояния системы не задаются. Например, в рассмотренном выше примере скорость перехватчика не входит в функционал f, и поэтому нет необходимости ограничивать время /g, затрачиваемое на перехват. При этом нет необходимости фиксировать заранее и конечное положение. Задачи, когда определен только один из концов, относятся к задачам со смешанными граничными условиями. Они могут возникать там, где, например, требуется пролететь расстояние р от заданной точки Xq некоторой области за минимальное время. При этом требуется, чтобы конечная точка лежала на поверхности гиперсферы ЦлГа -

* На основе составления сложных функционалов в последнее время была разработана А. М. Летовым, А. А. Красовским и Н. Н. Красовским методика аналитического конструирования систем автоматического управления {Прим. ред.).

-XqI = p. Вместо единственного конечного состояния здесь мы имеем некоторую область.

Отсюда следует, что существует отдельный класс задач, для решения которых должны быть созданы специальные методы. Три из них будут изложены в гл. 13-15. Однако сначала следует решить ряд задач оптимального управления, не прибегая к специальным методам. Возникающие при этом трудности дадут возможность оценить всю многогранность проблем оптимальности и отметить ограниченность методов, с которыми приходится иметь дело в практике проектирования систем управления.

12.2. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ

Задача определения оптимальной линейной стационарной системы из условия минимума интеграла от квадрата ошибки при некоторых видах входного сигнала была решена еще до появления новых методов. Началом для решения таких задач послужила работа Н. Винера [198] и последовавшая за ней работа Г. Воде и К. Шеннона [20].

Распространение метода Н. Винера минимизации интеграла от квадрата ошибок для синтеза детерминированных систем управления было вы-

полнено Ньютоном [150].

0.£(£. G*(p) , gfp; Эта задача в простейшем виде ~ может быть сформулирована следующим образом . Для линейной систе- мы, показанной на рис. 12.1, когда

, заданы объект управления G (р) и

Рис. 12.1. Структурная схема системы управ- /л i

ления, рассматриваемая в § 12.2 ВХОДНОЙ СИГНаЛ Г (t), ДЛЯ КОТОрых

интеграл от квадрата ошибки е {t) на интервале О t оо существует , требуется найти устойчивое линейное корректирующее устройство G* (р), которое обеспечивает минимум функционала

fleit},u{t)] = \ le{t) + ku{t)]dt

и определяет устойчивую в замкнутом состоянии систему управления с передаточной функцией

1+G;(s)G(s)

При решении во временной области приходим к интегральному уравнению, известному как уравнение Винера-Хопфа [150]. Поэтому удобнее

1 Последующее изложение соответствует работе Чанга [32]. Однако оно приведено здесь в еще более сжатом виде, позволяющем читателю лишь проследить решение задачи в частотной области. В гл. 13 эта задача решается во временной области.

Например, необходимо потребовать, чтобы функция г (t) была интегрируема с квадратом, а передаточная функция G (s) соответствовала устойчивому объекту; или можно потребовать, чтобы г (f) была единичной ступенчатой функцией, а объект управления обладал интегрирующими свойствами и т. д.

S Величина ku (/) в подынтегральном выражении используется в качестве функции штрафа для больших, значений и (f). Иначе решение задачи дает тривиальный результат

Н (р) = \, откуда следует (р)= при К со. Знание этой составляющей критерия

качества подробно изложено в гл. 13. . .