Далее, правая часть (III.28) зависит лишь от начальных условий и является конечной. Поэтому конечной является и левая часть соотношения (П1.28). Так как она также и не отрицательна, то отсюда следует, что

(оо) < ОО и /г (оо) = {t) dt < оо.

(П1.29) *

Таким образом, система является асимптотически устойчивой как по управляюц;ему сигналу, так и по выходному, что и требовалось доказать.

Частным случаем активного гистерезиса- является класс однозначных функций ** = / (с)- Итак, нами доказана также часть теоремы 10.1, относящаяся к однозначным функциям для Q д<С оо. Часть доказательства, относящаяся к однозначным функциям для - оо <С 9 О, будет приведена ниже.

3. Частный случай: -оо < О, пассивный гистерезис, или стационарная функция u{t) = S[e{ty\

При О < К < оо систему вида (10.1) с пассивным гистерезисом можно легко преобразовать в эквивалентную систему того же вида (10.1) с активным гистерезисом, вследствие чего можно использовать результаты, полученные для этого случая (см., например, рис. 10.2). Обозначим это преобразование как

и (О = (ЛЧ- е) е (/) - 1 (О . (1И-30)

для некоторого произвольно малого е > 0.

Ф) Г

F[e(t)]

G(P)

ec,(t)=ei,(tM><*e)fg,(t-Tjei,(T]dT о

-e(t)

e(t)

F,[e(t)J

u,(t)

-e(t)

e(t)

eo(t)

-e(t)

Рис. 111.2. Пример, иллюстрирующий возможность преобразования системы с пассивным гистерезисом в систему с активным гистерезисом:

а - первоначальная система, в которой [е (0] представляет собой нелинейный элемент с пассивным гистерезисом; б и в - нелинейные элементы i[e{0] с активным гистерезисом

Это преобразование показано на рис. 1II.2. Линейный элемент преобразованной системы характеризуется передаточной функцией Gj (s) и реакцией на начальные условия eoi (t), которые соответственно определяются выражениями

-G(s)

-()]--(-)-l+(K + e)G(.)-t

eoi (О = Co (О -f (Я 4- 8) f 9i (< - T) eo (т) di.

(III.31a)

(III.316)

* Из вьгражения (III.28) фактически следует, что (со) < со и {со) < со; однако вследствие содержащегося в теореме 10.1 предположения о том, что лииейиый элемент устойчив по выходу, асимптотичность управления означает асимптотичность выхода в соответствии с леммой 10.2.

** Для однозначных функций и = f {е) пути и криволинейных интегралов в выражении (111.28) являются единственными.

Преобразования Фурье этих выражений имеют вид

Gi(/w) =

l + (/C+e)G(/03)

£01 (/w) =

£0 (/ю)

l + (7C + e)G(/03)

(П1.32)

Справедливы две следующие леммы.

Лемма 111.2. Если теорема 10.1 справедлива для какого-то значения q (- 00 < 9 < 00), то при достаточно небольшом е> О линейный элемент, полученный с помощью преобразования (П1.30), обладает всеми свойствами (10.9) в отношении устойчивости на выходе, за исклю-

чением условия J g (О 1 < оо.

Доказательство леммы П1.2. Выберем такое, что 6 > 6 > О и (\1К) - - 6 = [1/(К+ е)1 -6. Согласно условию Попова (10.19) существует число fx> О такое, что i 1-Ь (К + е) G (/со) 1 р,> 0. Поэтому из выражения (П1.32) получим Gi(/co)l

G (/ш)

и I До1 (/со) I

До(/со). Кроме того, I /соДд! (/со) I

/соДо (/со) I

Так как первоначальный линейный элемент устойчив на выходе, то из выражения (10.9) и теоремы Планшереля (см. § П1.1) следует, что правые части трех приведенных выше неравенств интегрируемы с квадратом на интервале - оо со оо. Это относится также и к левым

частям, и из теоремы Планшереля снова следует, что (t) £ S2, oi (О € 2г и eoi (О Е 2г на интервале (О, оо). Доказательство последнего условия вытекает из выражения (П1.31 б) и неравенства Шварца:

\ 1 !

==01

о(0 +(f+8) g\ i.t)di

<оо;

это выражение является конечным так как gi {t) йг. -а первоначальный элемент удовлетворяет (10.9).

Лемма П1.3. Если условие Попова (10.19) справедливо для G (/ш) при qO, то оно будет справедливо также и для G (/со), выраженной формулой (1П.32), при 90*.

С учетом лемм И1.2 и П1.3 удовлетворение требований теоремы 10.1 в отношении линейного элемента первоначальной системы означает удовлетворение этих требований и для преобразованной системы. Необходимо теперь исследовать, в какой мере это справедливо для нелинейного элемента.

Лемма П1.4. Если нелинейный элемент первоначальнрй системы удовлетворяет условию (ti/eg [О, К], то преобразованный элемент удовлетворяет условию (uje) [е, А + е]. Кроме того, в соответствии с определением 10.2 преобразование выражения (П1.30) превращает не-ли1ейиый элемент с пассивным гистерезисом в нелинейный элемент с активным гистерезисом и наоборот.

Доказательство леммы П1.4 вытекает из применения выражения (П1.30) к соотношениям (10.2) и (10.4). Из лемм И1.1 **, П1.2 и П1.4 следует, что удовлетворение требований теоремы 10.1, включая условие Попова (10.19) с О для первоначальной системы с пассивным гистерезисом, будет означать асимптотическую устойчивость управления преобразованной системы, т. е.

<оо.

Поэтому, так как Ee(t) и\ (t), имеем

(оо)

(О dt

< оо

(П1.33)

(П1.34)

для заданных начальных условий.

* Можно показать (проделайте это), что еели -- Re [{I + jag) С (/to)] > 6 > О, то

[l/(iC -!- Е)] -)- Re [{I - jaq) Gi(/to) G, ((/to) G,/to) > 61 > 0, где 6 и 6, определены на этой странице. Отсюда следует лемма 111.3.

** Заметим, что приводимое в данном приложении доказательство для и {<) € 2 в (О, со) не требует, чтобы \g (t) Е 2г в (О, со) . Оно используется здесь для i (i) и gi (<).

Отсюда из выражений (III.30), (III.33), (III.34) и неравенства Минковского получил?

со со

Jl (оо) = J 2 () dt = J [(/С + е) е (О - % W dt: о о

[{К Ч- е) Je (оо) + Jul (oo)f < оо.

(III.35)

Тем самым завершается доказательство той части теоремы ЮЛ, которая относится к пассивному гистерезису.

4. Частный случай: - оо < < оо, однозначная инвариантная по времени функция к = / {е)

Однозначную инвариантную по времени функцию и = f (е) можно рассматривать как частный случай функции гистерезиса, а именно, как функцию, для которой функциональная зависимость между е и и является единственной. Следовательно, система с однозначной, инвариантной по времени функцией и = f (е), удовлетворяющая всем другим требованиям теоремы 10.1, будет иметь асимптотически устойчивое управление и выход, если условие Попова (10.19) удовлетворяется или для 90 (частный случай активного гистерезиса), или для 90 (частный случай пассивного гистерезиса) и тем самым для - оо < < оо. Это справедливо для 0<;К<оо. Так как при -оо<;9<;0 теорема не включает в себя случай К = оо, то при К= оо значение q должно ограничиваться диапазоном О ? < оо.

1II.4. Доказательство теоремы 10.2

Для доказательства теоремы 10.2 нам потребуется следующая лемма. Лемма 111.5. Если условия теоремы 10.2 удовлетворены, то существует действительное число Киа такое, что

fu (оо) =

(О dt

:С а. :(0)-

Доказательство леммы III.5. Из выражения (10.8а) имеем

eo{t) = -cO{t)x{0). Производная по времени бо (О будет

ёо(о = -сФ(Ол;(0).

(111.36)

(111.37а)

(III.376)

Теперь в соответствии с теоремой 10.2 все собственные значения Xj- (i = 1, . . ., n) ма- . трицы А имеют отрицательные действительные части. Это означает существование а > О такого, что ReXja для всех г= 1, .... п. Следовательно (см. упражнение 5.14), существуют числа М; М такие, что

\t.i=i J

[Ф(011=

(III.38)

Таким образом, из выражений (П1.37) и (111.38) можно получить следующие неравенства: \eo(t)\cMe-*lx(0)\\; К (О х (0) , flU.39)

I \

(111.40)

(т. е. с представляет собой норму постоянного вектора с), Поэтому из равенства (П1.23в) и условия (П1.39) следует, что

Jo (сю) ЖоаIIJC (0)11, (III.41)