Н = х; = -g (Xl) cOpATg - cogxi, 2lo, \хг\>и

В (Xi) =

I 21-k.

Полагая % = 0 и = 0, из уравнения (5.76) следует, что

есть единственное положение равновесия.

Система линейна для Xi 1. Тогда для малых по отношению к состоянию отклонений характеристическое уравнение запишем в виде

Из уравнения (5.79) следует, что положение равновесия в начале координат:

а) асимптотически устойчиво, если k < 2о;

б) неустойчиво, если k > 2go-

Поскольку система линейна для всех х, удовлетворяющих условию Xi 1, k = 2о начало координат устойчиво в смысле Ляпунова. Таким образом, первая из ленных задач решена.

Уравнение (5.76) можно записать в виде

Xl - fl (Xi); Х2 - /2 (Xi, X2),

fl (2) = Ч f2 (-b - 2) = - g (0 02 - W

С учетом выражения (5.77) и уравнения (5.82) получим

2goWo, К1>1;

(2g -fe)c3o, \Xi\\.

(5.76) (5.77)

(5.78)

Xe=0 (5.79)

(5.80)

TO при постав-

(5.81) (5.82)

(5.83)

Тогда в силу первой теоремы Бендиксона необходимое условие существования предельного цикла заключается в том, чтобы

k>2lo. (5.84)

Таким образом, и вторая из поставленных проблем решена.

Из соотношений (5.80) и (5.84) следует, что условие k 2о - не только необходимое условие существования предельного цикла, но и одновременно необходимое и достаточное условие неустойчивости положения равновесия (в данном случае начала координат). Сейчас покажем, что указанное условие является также и достаточным условием существования предельного цикла.

Прежде всего отметим, что при k 2о начало координат либо неустойчивый фокус, либо неустойчивый узел. Кроме того, поскольку это единственное положение равновесия, то индекс Пуанкаре равен 1 и предельный цикл в системе возможен. Так как при k > 2о начало координат - неустойчивая точка равновесия, то траектории, которые начинаются вблизи этой точки, будут уходить от нее, стремясь либо к предельному циклу, либо к бесконечности. Если траектории не выходят за пределы ограниченной области фазовой плоскости, то они должны входить в предельный цикл по второй теореме Бендиксона. Таким образом, остается показать, что при fe> 2о траектории не выходят за пределы некоторой ограниченной области фазовой плоскости.

Из уравнений (5.76) и (5.77) следует, что для области > 1 всякое движение асимптотически устойчиво по отношению к виртуальному положению равновесия * (xie, Хц) =

* Виртуальным положением равновесия называется такое положение равновесия, которое расположено вне той области фазовой плоскости, для которой оно является положением равновесия. Например, в рассматриваемом случае виртуальное положение равновесия для области I 11 > 1 расположено в точке (xi, х = (О, 0), которая лежит вне области I I > 1. В этом частном случае оказывается, что (х, хе) = (О, 0) одновременно и положение равновесия для области lxi\<i 1, в которой оно и лежит. Однако в общем случае виртуальные положения равновесия отличаются от действительных положений равновесия [98].

= (О, 0). Таким образом, траектории располагаются в ограниченной области фазовой плоскости. Это означает, что всякая траектория должна асимптотически стремиться к устойчивому предельному циклу, если fe>2o. Таким образом, условие fe> 2go есть необходимое и достаточное условие существования предельного цикла. Последняя теорема этого раздела принадлежит Пуанкаре [36].

Теорема 5.6. Замкнутая траектория G автономной системы второго порядка Xi = fl (xi, Ха); Ха = /а (xi, Х2) орбитально асимптотически устойчива, если контурный интеграл

отрицателен. Доказательство теоремы 5.6 требует введения представлений о характеристических показателях, и поэтому оно опущено.

.5.9. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ В БОЛЬШОМ. ГИПОТЕЗЫ АЙЗЕРМАНА И КАЛМАНА

До сих пор рассматривалась лишь устойчивость в малом. Однако без привлечения дополнительных представлений границы, в которых справедлив такой анализ, остаются неизвестными. Другими словами, действительные размеры б-окрестности в определении устойчивости по Ляпунову (или бд-окрестйости в случае асимптотической устойчивости) остаются неизвестными априори и, следовательно, в некоторых случаях могут оказаться чрезвычайно- малыми. Однако область может оказаться и больше, чем ожидал проектировщик системы (см. задачу 5.5).

Понятие устойчивости в большом значительно более приемлемо для инженерных целей, поскольку область м выполнения этих условий определена заранее.

Определение 5.15. Положение равновесия л: свободной системы асимптотически устойчиво в большом по отношению к ограниченной области м, если

а) устойчиво;

б) всякая траектория системы, начинающаяся в м, стремится к Хе при t -> 00.

Если область м охватывает все пространство состояний, то имеем дело с асимптотической устойчивостью в целом *.

Определение 5.16. Положение равновесия свободной динамической системы асимптотически устойчиво в целом, если

а) Xg устойчиво;

б) всякая траектория системы стремится к при t -> 00.

Как и прежде, можно ввести понятия: почти асимптотической устойчивости в целом; равномерной асимптотической устойчивости в большом; орбитальной асимптотической устойчивости в целом . Мы опускаем определения перечисленных понятий, однако некоторыми из них будем в дальнейшем пользоваться.

К сожалению, до сих пор получено очень мало результатов, касающихся свойств асимптотической устойчивости в большом и асимптотической устойчивости в целом **, и эти результаты никак не связаны с первым методом Ляпунова.

* Применение терминов асимптотическая устойчивость в большом и асимптотическая устойчивость в целом ие является общепринятым. Многие авторы используют их как тождественные.

** Некоторые методы, принадлежащие Ляпунову и В. ж. Попову, позволяющие глубже изучать такие типы устойчивости, будут изложены в гл. 9 и 10.

Однако можно надеяться, что при достаточных ограничениях на тип исследуемой системы удастся получить, некоторые результаты. В 1949 г. М. А. Айзерман рассмотрел системы вида, изображенного на рис. 5.7. Система состоит из линейной части и некоторого безынерционного нелинейного элемента f(e). Ограничение, которому должен удовлетворять нелинейный элемент f{e), заключается в том, что каждая нелинейная зависимость должна лежать в сегменте, ограниченном прямыми ke и ke, и, следовательно, должны выполняться следующие условия:

fie)

f(0) = 0; Oki-

(5.85)

r = 0.

G(p)

Рис. 5.7. Структурная схема системы управления, поясняющая проблему М. А. Айзер-мана. Здесь f (е) - нелинейность, удовлетворяющая условию (5.85)

Если / (е) представляет собой просто коэффициент усиления, то и = = ke, и система линейна. Допустим, что такая линейная система с обратной связью устойчива для всех k, удовлетворяющих неравенству £ < k,. Возникает следующая проблема. Можно ли утверждать, что при выполнении последнего условия исходная нелинейная система асимптотически устойчива в целом для всех нелинейностей / (е) типа (5.85)?

М. А. Айзерман выдвинул гипотезу, считая, что ответ на поставленный вопрос должен быть утвердительным. Следует отметить, что условие (5.85) и тот факт, что кя определяют границы устойчивости для соответствующей линейной системы, позволяют сделать вывод об устойчивости в малом исходной нелинейной системы*. В этом смысле высказанная гипотеза есть попытка распространить результаты анализа устойчивости в малом на исследование асимптотической устойчивости в целом некоторого специального класса нелинейных систем, которые мы называем системами Айзермана. Если бы гипотеза М. А. Айзер-мана оказалась справедливой, то это бы означало, что при рассмотрении определенного класса нелинейных систем вопрос об устойчивости можно было бы полностью решить, исследуя систему лишь при предельных значениях наклона нелинейной характеристики

Однако оказывается, что гипотеза М. А. Айзермана ошибочна [42], [51], [160], [200]. Более строгой, чем гипотеза М. А. Айзермана, является гипотеза Калмана [95]. По отношению к системе, приведенной на рис. 5.7, гипотезу Калмана можно сформулировать следующим образом: допустим, что наклон функции f (е) ограничен сверху и снизу следующим образом:

k[-.

f{e)tf{e)<k:,.

(5.86)

Если линейная система, у которой / (е) = ke, устойчива для всех k, удовлетворяющих условию k\ sk k2, то исходная нелинейная система асимптотически устойчива в целом для каждой нелинейности / (е), удовлетворяющей условию (5.86).

Из условий (5.85) и (5.86) видно, что для одной и той же нелинейности / (е) значения величин k, k ki и, ki связаны условием 2.

* За исключением тех критических случаев, когда по крайней мере одно из неравенств (5.85) переходит в равенство.