15.5. Для задачи, рассматриваемой в § 15.3, выведите дифференциальное уравнение в частных производных, аналогичное (15.24), методом прямого динамического программирования.

15.6. Выведите уравнения (15.28) и (15.29), имея в виду, что для задачи Майера критерий оптимальности /* имеет постоянное значение вдоль оптимальной траектории.

15.7. Рассмотрите класс систем с одной компонентой управления х= Ах + Ьи. Определите управление и* (t) с учетом и (О 1, которое переводит систему из произвольного начального состояния х (0) = хв начало координат таким образом, чтобы минимизировать показатель качества

lxQx+cu]dt.

Предлагаем читателю:

а) найти оптимальное управление и* (х) как функцию координат без учета ограничения ы (0< 1;

б) показать, что оптимальное управление в этом случае определяется формулой

sat X =

sign X,

\х\ \х\

в) показать, что уравнение Беллмана с учетом приведенной выше оптимальной функции управления сводится к виду

+ -f- + J-(xrQx) = 0, если =1.

15.8. Задачу оптимального управления нестационарным линейным объектом при показателе качества (15.40), в конечном счете, можно свести к матричному уравнению Риккати, которое приходится решать с помощью вычислительных машин. В этом случае возникает вопрос о корректности программы для вычислительной машины. Оцените, сколь приемлемо решение примера 15.2, представленное на рис. 15.2.

15.9. Покажите, что линейные системы оптимального управления, которые можно синтезировать, решая уравнения (15.49) с положительно определенной матрицей Р, являются асимптотически устойчивыми в целом при оптимальном управлении и* (х). Установите, что функционал /* (х) можно рассматривать как функцию Ляпунова.

15.10. Найдите уравнение Беллмана для систем: . .

а) примера 14.1;

б) задачи 14.12;

в) задачи 13.14; .

г) примера 13.4.

Оцените возможность решения этих уравнений.

15.11. Повторите упражнение 12.9, используя метод решения во временной области, изложенный в § 15.4.

15.12. Для системы г/ -\~ г/ = и:

а) определите оптимальное управление как функцию координат, минимизирующее показатель качества

(у (О + rv? (0) dt при г > 0;

б) постройте корневой годограф замкнутой оптимальной системы прн изменении г;

в) постройте частотный годограф оптимальной передаточной функции F* (s) [см. уравнение (15.50)] прн /= 0,1; 1,0; 10,0.

Повторите операции, указанные выше в пунктах а) - в), применительно к объекту у - ~У~ и.

15.13. Для класса задач, которые решаются на основе уравнения (15.60), рассмотрите какую-либо конкретную оптимальную траекторию. Вдоль этой траектории на основе динамического программирования можно найти управление в функции координат системы и* (х, tj, и тогда уравнение (15.60) можно записать в виде

+ L (X, и* {X, t). t) + (-у/(x, и* (X, t), t) = 0.

Используя приведенное выше уравнение и исходя из предположения о том, что производные dr/dt dxi и df*/dxi dxj существуют для каждого i и /, покажите, что условие 2 теоремы 14.3 выполняется, если производную df*/dx отождествить с сопрялченным вектором ф (f).

15.14. Для системы y-h у=и найдите оптимальное управление как функцию координат, которое минимизирует показатель качества

{t)dt

при переводе изображающей точки из произвольного начального состояния в конечное состояние у (Т)= у (Г) = О, где Т ограничено.

15.15. Для системы у -\- у= и определите оптимальное управление как функцию координат, минимизирующее показатель качества

если у (о). У (о) 0 и Г заданы, а конечное состояние свободно.

15.10. УКАЗАНИЯ НА ЛИТЕРАТУРУ

Термин динамическое программирование был предложен в начале 1950-х годов Р. Беллманом, который затем в большом числе работ показал целесообразность его применения в различных областях техники. Результаты применения этого метода обсуждаются в книге [И]. Примеры использования динамического- программирования применительно к управлению и задачам оптимизации можно найти в работах [10] и [48].

Самой ранней работой, которая касается оптимальных линейных систем с обратной связью, является, по-видимому, работа [100], в которой изучаются импульсные системы. Ч. В. Мерриэм распространил результаты на непрерывные системы и системы с заданным входным сигналом. Эти результаты опубликованы в работе [139]. Теоретические основы решения линейных оптимальных задач были даны Р. Калманом в работах [92] и [96].

Справедливость применения уравнения Беллмана к задачам оптимального управления подтверждается работами [18], [22] и [187].

ГЛАВА 16

ВЫРОЖДЕННЫЕ! и ОСОБЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

К использованию необходимых условий, которые определяются на основе принципа максимума, следует подходить с известной осторожностью. Существуют классы задач, применительно к которым неправильное использование принципа максимума может привести к неверным результатам. Типичным примером является класс особых задач оптимального управления.

Встречаются и другие классы задач, применительно к которым даже правильного использования принципа максимума недостаточно для нахождения решения. Типичный пример - вырожденные задачи оптимального управления.

16.1. ОСОБЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В гл. 13 было показано, что при обычном исчислении метод множителей Лагранжа можно использовать в том случае, когда нужно пайти точку минимума дважды дифференцируемой функции двух переменных / (лг, с учетом дьажды дифференцируемого ограничения g {х, х = 0. Вводя множитель i5 и образуя функцию h {х-, Xj) / (лг, х) -f g (х, Xj), приступим к нахождению точки минимума, как если бы ограничений не существовало. Это приводит к векторному условию

л:=;** дх

+ =0. . (16.1)

Из рассмотрения условия (16.1) находим, что если

= 0, (16.2)

х=х*

но dfldx\x=x =1= О, то не существует конечного значения i5, которое может дать правильный результат, так как это означает возможность определения л:* только из dfldx\x=x - ,

Пример 16.1. Найдите точку минимума f (xj, Xg) = + bxg, где a> 6> 0,c учетом g (xj, Xg) = 2 (xj -f Xg) - + - 1 = 0. Заметим, что g можно записать в полярных координатах в следующей форме: 2/- -И- 1 и dgldx равняется нулю при 1.

Но Xj -f л = 1 также удовлетворяет ограничению вида g = 0. Таким образом, складьшается такое положение, когда условие (16.1) неэффективно. Написав для данной задачи условие (16.1) в полном виде, получим . :

2ах; + Нх;[1-(.-+4).]=0;1

2to.;+Hx;[i-(x;2+42)] = o, 1