2. Задачи с подвижными концами

Иногда конечная точка в задаче оптимального управления не задается, вместо этого ставится лишь условие, что траектория должна заканчиваться на некоторой гладкой гиперповерхности р {х-, х, , х) = 0, (т п). Этот класс задач уже рассматривался в предыдущей главе. Напомним, что в случае стационарной гиперповерхности р {х, х, -, -т) условие трансверсальности состоит в том, что проекция вектора -ф {f) в т-мерном пространстве Xl, . . ., Xfn в конечный момент времени 2 (т- е- в тот момент, когда траектория х* (t) достигает гиперповерхности р (х) = 0) должна быть нормальна к гиперповерхности в точке, где оптимальная траектория х* (t) касается гиперповерхности.

Этот результат нетрудно получить, используя геометрическую интерпретацию предыдущего параграфа: в данном случае множество § объединяет точки <S={a: : р [х, . .., xj=0; Xq <Xq ( *, 2)[- Если функция р (х) такова, что измененное множество i является выпуклым, то отсюда сразу же следует требуемый результат. Вектор rj, нормальный к опорной гиперплоскости, разделяющей выпуклые множества С (t) я § в точке x*{t), будет обладать тем свойством, что его проекция в т-мерном пространстве будет нормальна к гиперповерхности р (xi, . . х) = 0. В частности, если принять, что вектор г\ расположен в направлении внешней нормали к G (ti), то становится 14 8 линии переключе-очевидным, что его проекция в пространстве ния для системы, рассматри-(Xi, . . ., Хт) расположена в направлении внутрен- ваемой в примере 14.6 ней нормали к гиперповерхности р (х, . . ., х)=0.

Заметим, что этот результат будет справедлив даже в том случае, когда гладкая гиперповерхность р [х, . . ., х) = О такова, что множество § не является выпуклым. Таким образом, условие трансверсальности для оптимальных задач, в которых траектории должны заканчиваться на гладкой гипе рповерхности р (х, х, . ., xl) = О, сводится к тому, что вектор, образуемый первыми т составляющими -ф (2). располагается в направлении внутренней нормали к гиперповерхности р [х-, . . ., х) = О в точке л:* (2)-

Ввиду того, что градиент р, вычисляемый в точке {х, . . ., х), нормален к гиперповерхности р = О в этой точке, приведенный выше результат можно сформулировать по-другому, указав, что проекция -ф (2) в пространстве [xi, . . ., х ) должна располагаться вдоль вектора градиента р в точке JC * (2)-

Пример 14.6. Рассмотрим оптимальный по быстродействию перевод объекта с двойным интегрированием из произвольного начального состояния на конечное множество, определяемое уравнением х- -f- 1.

Из рис. 14.8 можно видеть, что на сторонах а и 6 конечного множества проведенный по внутренней нормали вектор ijj должен быть таким, чтобы составляющая ifg была отрицательной. Так как в соответствии с принципом максимума оптимальное управление имеет вид и* = = sign ifa, то к сторонам а и 6 все оптимальные траектории должны подходить с управлением, равным -1. Подобным же образом к сторонам с v. d все оптимальные траектории должны подходить с управлением, равным -f-1, а переключение оптимального управления ы* - происходить в углах I 1 = 1. Из принципа максимума можно сделать вывод, что допускается лишь одно переключение оптимальной функции управления. Таким образом, мы приходим к заключению: линии переключения Г. и Г можно построить так, как показано на рис. 14.8, с тем, чтобы полностью выявить оптимальную функцию управления.

1) Иногда это может быть кусочно-гладкая поверхность; см. пример 14.6.

3. Задачи оптимального управления нестационарными системами

Принцип максимума для нестационарной системы был сформулирован в § 14.3. Следует отметить, что нестационарную задачу оптимизации всегда можно преобразовать в эквивалентную стационарную задачу i). Исходя из этого можно вывести необходимые условия оптимальности и условия трансверсальности для задач с нестационарными объектами.

Введем еще одно дополнительное состояние х, == t; это значит, что в формулировке § 14.3 имеем дополнительное уравнение

х 1 (ti) = tr. (14.68)

Тогда в (п + 2)-мерном евклидовом пространстве с координатами {хо, Xi, . . ., Xfi) уравнения системы и критерий качества принимают вид

x=f{x, и), f= \ L{x, n)dt, (14.69)

где fn+i = 1, и мы имеем эквивалентную стационарную систему.

Если для этой системы порядка (п + 2) обычным образом определить {п + 2)-мерный вектор (t) и гамильтониан Н то получим

Л0 = - f г = 0, ...,п+1;

1=0

H,= i:i{t)fiix, и); , (14.70)

здесь явно не зависит от времени, так что в соответствии с соотноше- нием (14.28) имеем Щ == const. Следует, однако, отметить, что гамильто-

ниан Я = S Ф/Д связан с гамильтонианом Я1 ..формулой

= Я + я1, ,1 (0. (14.71)

Предположим, что конечный момент времени t, не задан, тогда условие, которому должен отвечать гамильтониан Я в каждой точке оптимальной траектории, заключается в следующем:

Я (х*, и*, t) = Я* (t) = - я1; ,1 (0. (14.72)

Условие трансверсальности имеет вид

.i(2) = 0. (14.73)

В соответствии с соотношением (14.27) запишем

дхп+1

х=х dt j

= -n.iit) = (14.74)

Тогда с учетом соотношений (14.74) и (14.73) уравнение (14.72) принимает вид :

. Я*(0 = - llJt. . (14.75)

Таким образом, гамильтониан в задаче оптимального управления нестационарными объектами должен удовлетворять условию (14.75).

) Однако при этом линейная нестационарная система будет преобразована в нелинейную стационарную систему. . ,

4. Задачи Майера

В гл. 13 была рассмотрена задача Майера, а именно: задача оптимизации, в которой критерий зависит лишь от конечной точки. Как и следовало ожидать, задачу Майера можно решить с помощью принципа максимума, хотя, вообще говоря, этот класс задач является более трудным по сравнению с задачами, которые рассматривались до сих пор.

В задаче Майера критерий качества определяется следующим образом: f = Р [х (t), 2)- Заметим, сначала, что если функция Р имеет вторые частные производные, то сформулированную задачу легко преобразовать

в задачу Лагранжа, а именно: в задачу с критерием вида f = L [х,

и, t) dt.

Напишем сначала

tz tz г П

P(Jc{t ) t,) = Pi+ J Р{х, t)dt = Pi+ J 21

tt tl \ i=\

где Pi = P (x (tl), tj). Так как Р представляет собой постоянную величину, то она не входит в задачу минимизации; таким образом, необходимо

tz f П \

\л дР , , дР

дР г дР

рассмотреть лишь минимизацию функционала =

tl \ i=i

что эквивалентно задаче Лагранжа.

Если непосредственно использовать функционал f в задаче миними-зации с ограничениями на управление , то получим (предполагая я))о ¥=0 и принимая фо == -1)

H=-yPf----¥f- (14.76)

Вдоль оптимальной траектории имеем

Ф(0 = -

х=х*

Так как (dldx) = О, то

(14.77а)

Ввиду того, что конечное состояние в задаче Майера не задано, имеем

{Q = 0. . , (14.776)

Для нахождения оптимального управления максимизируем затем гамильтониан (14.76) с учетом ограничения управления .

Приведенную методику решения можно упростить, если воспользоваться результатами гл. 13. Можно показать, что сформулированная выше задача минимизации идентична задаче с эквивалентным гамильтонианом вида (см. задачу 14.8)

На = Ярй/,

- = *--dl-

(14.78а) (14.786)