Главная страница  Системы автоматического управления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Л А,

2. Задачи с подвижными концами

Иногда конечная точка в задаче оптимального управления не задается, вместо этого ставится лишь условие, что траектория должна заканчиваться на некоторой гладкой гиперповерхности р {х-, х, , х) = 0, (т п). Этот класс задач уже рассматривался в предыдущей главе. Напомним, что в случае стационарной гиперповерхности р {х, х, -, -т) условие трансверсальности состоит в том, что проекция вектора -ф {f) в т-мерном пространстве Xl, . . ., Xfn в конечный момент времени 2 (т- е- в тот момент, когда траектория х* (t) достигает гиперповерхности р (х) = 0) должна быть нормальна к гиперповерхности в точке, где оптимальная траектория х* (t) касается гиперповерхности.

Этот результат нетрудно получить, используя геометрическую интерпретацию предыдущего параграфа: в данном случае множество § объединяет точки <S={a: : р [х, . .., xj=0; Xq <Xq ( *, 2)[- Если функция р (х) такова, что измененное множество i является выпуклым, то отсюда сразу же следует требуемый результат. Вектор rj, нормальный к опорной гиперплоскости, разделяющей выпуклые множества С (t) я § в точке x*{t), будет обладать тем свойством, что его проекция в т-мерном пространстве будет нормальна к гиперповерхности р (xi, . . х) = 0. В частности, если принять, что вектор г\ расположен в направлении внешней нормали к G (ti), то становится 14 8 линии переключе-очевидным, что его проекция в пространстве ния для системы, рассматри-(Xi, . . ., Хт) расположена в направлении внутрен- ваемой в примере 14.6 ней нормали к гиперповерхности р (х, . . ., х)=0.

Заметим, что этот результат будет справедлив даже в том случае, когда гладкая гиперповерхность р [х, . . ., х) = О такова, что множество § не является выпуклым. Таким образом, условие трансверсальности для оптимальных задач, в которых траектории должны заканчиваться на гладкой гипе рповерхности р (х, х, . ., xl) = О, сводится к тому, что вектор, образуемый первыми т составляющими -ф (2). располагается в направлении внутренней нормали к гиперповерхности р [х-, . . ., х) = О в точке л:* (2)-

Ввиду того, что градиент р, вычисляемый в точке {х, . . ., х), нормален к гиперповерхности р = О в этой точке, приведенный выше результат можно сформулировать по-другому, указав, что проекция -ф (2) в пространстве [xi, . . ., х ) должна располагаться вдоль вектора градиента р в точке JC * (2)-

Пример 14.6. Рассмотрим оптимальный по быстродействию перевод объекта с двойным интегрированием из произвольного начального состояния на конечное множество, определяемое уравнением х- -f- 1.

Из рис. 14.8 можно видеть, что на сторонах а и 6 конечного множества проведенный по внутренней нормали вектор ijj должен быть таким, чтобы составляющая ifg была отрицательной. Так как в соответствии с принципом максимума оптимальное управление имеет вид и* = = sign ifa, то к сторонам а и 6 все оптимальные траектории должны подходить с управлением, равным -1. Подобным же образом к сторонам с v. d все оптимальные траектории должны подходить с управлением, равным -f-1, а переключение оптимального управления ы* - происходить в углах I 1 = 1. Из принципа максимума можно сделать вывод, что допускается лишь одно переключение оптимальной функции управления. Таким образом, мы приходим к заключению: линии переключения Г. и Г можно построить так, как показано на рис. 14.8, с тем, чтобы полностью выявить оптимальную функцию управления.

1) Иногда это может быть кусочно-гладкая поверхность; см. пример 14.6.



3. Задачи оптимального управления нестационарными системами

Принцип максимума для нестационарной системы был сформулирован в § 14.3. Следует отметить, что нестационарную задачу оптимизации всегда можно преобразовать в эквивалентную стационарную задачу i). Исходя из этого можно вывести необходимые условия оптимальности и условия трансверсальности для задач с нестационарными объектами.

Введем еще одно дополнительное состояние х, == t; это значит, что в формулировке § 14.3 имеем дополнительное уравнение

х 1 (ti) = tr. (14.68)

Тогда в (п + 2)-мерном евклидовом пространстве с координатами {хо, Xi, . . ., Xfi) уравнения системы и критерий качества принимают вид

x=f{x, и), f= \ L{x, n)dt, (14.69)

где fn+i = 1, и мы имеем эквивалентную стационарную систему.

Если для этой системы порядка (п + 2) обычным образом определить {п + 2)-мерный вектор (t) и гамильтониан Н то получим

Л0 = - f г = 0, ...,п+1;

1=0

H,= i:i{t)fiix, и); , (14.70)

здесь явно не зависит от времени, так что в соответствии с соотноше- нием (14.28) имеем Щ == const. Следует, однако, отметить, что гамильто-

ниан Я = S Ф/Д связан с гамильтонианом Я1 ..формулой

= Я + я1, ,1 (0. (14.71)

Предположим, что конечный момент времени t, не задан, тогда условие, которому должен отвечать гамильтониан Я в каждой точке оптимальной траектории, заключается в следующем:

Я (х*, и*, t) = Я* (t) = - я1; ,1 (0. (14.72)

Условие трансверсальности имеет вид

.i(2) = 0. (14.73)

В соответствии с соотношением (14.27) запишем

дхп+1

х=х dt j

= -n.iit) = (14.74)

Тогда с учетом соотношений (14.74) и (14.73) уравнение (14.72) принимает вид :

. Я*(0 = - llJt. . (14.75)

Таким образом, гамильтониан в задаче оптимального управления нестационарными объектами должен удовлетворять условию (14.75).

) Однако при этом линейная нестационарная система будет преобразована в нелинейную стационарную систему. . ,



4. Задачи Майера

В гл. 13 была рассмотрена задача Майера, а именно: задача оптимизации, в которой критерий зависит лишь от конечной точки. Как и следовало ожидать, задачу Майера можно решить с помощью принципа максимума, хотя, вообще говоря, этот класс задач является более трудным по сравнению с задачами, которые рассматривались до сих пор.

В задаче Майера критерий качества определяется следующим образом: f = Р [х (t), 2)- Заметим, сначала, что если функция Р имеет вторые частные производные, то сформулированную задачу легко преобразовать

в задачу Лагранжа, а именно: в задачу с критерием вида f = L [х,

и, t) dt.

Напишем сначала

tz tz г П

P(Jc{t ) t,) = Pi+ J Р{х, t)dt = Pi+ J 21

tt tl \ i=\

где Pi = P (x (tl), tj). Так как Р представляет собой постоянную величину, то она не входит в задачу минимизации; таким образом, необходимо

tz f П \

\л дР , , дР

дР г дР

рассмотреть лишь минимизацию функционала =

tl \ i=i

что эквивалентно задаче Лагранжа.

Если непосредственно использовать функционал f в задаче миними-зации с ограничениями на управление , то получим (предполагая я))о ¥=0 и принимая фо == -1)

H=-yPf----¥f- (14.76)

Вдоль оптимальной траектории имеем

Ф(0 = -

х=х*

Так как (dldx) = О, то

(14.77а)

Ввиду того, что конечное состояние в задаче Майера не задано, имеем

{Q = 0. . , (14.776)

Для нахождения оптимального управления максимизируем затем гамильтониан (14.76) с учетом ограничения управления .

Приведенную методику решения можно упростить, если воспользоваться результатами гл. 13. Можно показать, что сформулированная выше задача минимизации идентична задаче с эквивалентным гамильтонианом вида (см. задачу 14.8)

На = Ярй/,

- = *--dl-

(14.78а) (14.786)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 [ 135 ] 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

© 2000 - 2024 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.